Частотные критерии устойчивости

Исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем. Понятие разомкнутой системы – системы, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, то есть управляемая величина (выходная) не контролируется. Логарифмический частотный критерий.
Краткое сожержание материала:

Частотные критерии устойчивости - 2 часа

Введение

При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Разомкнутая система - это система, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.

Замкнутая система - это система регулирования по отклонению, на вход УУ через обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходной величины.

Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем. Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы - это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функции разомкнутой системы в комплексной плоскости.

1. Частотные критерии устойчивости

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на, построении частотных характеристик и кривой Михайлова.

Будут рассмотрены следующие частотные критерии: критерий Михайлова, Найквиста и логарифмический частотный критерий.

Рис.1 Схема для формулировки критерия Михайлова

Пусть характеристический полином системы равен:

Подставим в него :

Кривая Михайлова - это кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до .

Критерий Михайлова. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь при с действительной положительной полуоси, при возрастании от 0 до последовательно обходила п квадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис.1).

Пример Задан характеристический полином системы:

.

Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.

Сначала необходимо подставить в него , получим:

.

Для того, чтобы построить кривую Михайлова, представим характеристический полином в виде:

, т.е. ,

Для построения кривой составим таблицу:

	0	0<<1	1	1<<		>
	2	>0	1	>0	0	<0	-
	0	>0	0	<0	-1,4	<0	-

Построим кривую Михайлова (рис. 2, кривая 1). В пределах квадранта вид кривой Михайлова на устойчивость не влияет, и она строится весьма приблизител

ьно. Система неустойчива.

Рис.2. Кривые Михайлова

При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Разомкнутая система - это система, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.

Замкнутая система - это система регулирования по отклонению, на вход УУ через обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходной величины.

Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем. Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы - это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функции разомкнутой системы в комплексной плоскости.

Критерий Найквиста: Пусть l корней характеристического уравнения разомкнутой системы находятся в правой полуплоскости, а остальные п - l корней -- в левой полуплоскости. Тогда, для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутой системы с ростом от 0 до охватывала точку (--1, j0) в положительном направлении, т. е. против движения часовой стрелки, l/2 раз.

В частности, если разомкнутая система устойчива (и, следовательно, l = 0), то, для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутой системы не охватывала точку (--1, j0).

Пример. Дана замкнутая система (рис. 2, а). Оценить устойчивость системы по критерию Найквиста.

Для этого необходимо получить частотную передаточную функцию разомкнутой системы и построить АФЧХ.

;

Частотная передаточная функция ее разомкнутой системы

W (j) = U() + jV (),

U() = -2/(² + 1),

V () = -2 /(² + 1).

Для построения АФЧХ составим таблицу:

	0	>0
U() V()	-2 0	< 0 <0	0 0

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (рис. 3, б) охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении 1/2раз. Необходимо составить характеристическое уравнение разомкнутой системы:

Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет один правый корень, т.е. l= 1. Поэтому замкнутая система по Критерию Найквиста устойчива, поскольку АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;j0) Ѕ раза в положительном направлении. Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Рис. 3. Структурная схема и амплитудно-фазовая частотная характеристика

Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет ( 1) нулевых корней или, что-то же, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W (s) =kW₀(s)/s,

где W₀ (0) = 1, то система называется астатической с астатизмом -го порядка.

Как следует из критерия Найквиста, на устойчивость замкнутой системы влияет не конкретный вид амплитудно-фазовой частотной характеристики ее разомкнутой системы, а только то, сколько раз она охватывает точку (-1, j0). Это можно установить по числу переходов (пересечений) амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (-, -1) действительной оси [левее точки (-1;j0)].

Дадим определения:

Положительный переход (при возрастании частоты) - переход АФЧХ отрезка (-, -1) сверху вниз.

Отрицательный переход -- это переход АФЧХ отрезка (-, -1) снизу вверх (рис. 4, а).

То, сколько раз АФЧХ охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении, равно разности между числами положительных и отрицательных переходов на отрезке (-, -1).

Поэтому критерий Найквиста можно сформулировать также следующим образом: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы отрезка (-, -1) была равна l/2 (l -- число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Используя связь между амплитудно-фазовой частотной характеристикой и логарифмическими частотными характеристиками, на основе критерия Найквиста нетрудно сформулировать логарифмический частотный критерий устойчивости.

При пересечении амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (-, -1) А( ) > 1 или L( ) = 20 lq А ( ) > 0 амплитудно-фазовой частотной и

( ) = - (2i + 1), i = 0, 1, ... .

Рис. 4 Схема для формулировки логарифмического частотного критерия

Логарифмический частотный критерий: Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотной характеристики разомкнутой системы прямых ( ) = - (2i + 1), ( i...