Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Построение объектов, изоморфных данным алгебраическим структурам. Решетки конгруэнций Ламбека по простым идеалам. Теоремы об изоморфизме и свойства пучковых представлений. Функциональные пучки Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток.
Краткое сожержание материала:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Физико-математический факультет

Кафедра высшей математики

Выпускная квалификационная работа

Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Выполнил студент V курса физико-математического факультета

Марков Роман Владимирович

_________________________

Научный руководитель:

д.ф-м.н., профессор кафедры высшей математики

Чермных Василий Владимирович

__________________________

Рецензент:

д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой высшей математики

Вечтомов Евгений Михайлович

__________________________

Киров 2010

Оглавление

• Вступление 3
• 1. Основные определения 4
• 1.1 Решетка 4
• 1.2 Топологическое пространство 10
• 1.3 Функциональный пучок 13
• 2. Функциональные представления дистрибутивных решеток 25
• 2.1 Теоремы об изоморфизме 25
• 2.2 Свойства пучковых представлений 30
• Литература 33

Вступление

Все алгебраические объекты имеют абстрактную природу, их невозможно ни изобразить, ни визуализировать каким либо другим образом. Поэтому одной из важнейших задач алгебры является задача представления, заключающаяся в построении объектов иной природы, изоморфных данным алгебраическим структурам.

Примерами могут служить:

· Теорема Кэли о вложимости произвольной группы в некоторую симметрическую группу, результат об изоморфизме алгебры линейных операторов n-мерного векторного пространства и алгебры матриц nn над тем же полем;

· Теорема Стоуна об изоморфизме конечной булевой алгебры и решетки всех подмножеств некоторого конечного множества;

Одной из рассматриваемых идей о представлениях является представление алгебраических систем сечениями пучков: А. Гротендик(1960г), Р. Пирс(1967г), Дж. Ламбек(1971г), К. Хофман(1972г), К. Малви(1979г) и другие занимались представлениями колец. Первые работы по представлению дистрибутивных решеток появились в конце 60х годов. Различным типам пучковых представлений посвящены работы Корниша, Войкулеску, Георгеску и других.

Данная работа посвящена построению функциональных пучков Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток. В работе вводятся основные определения, необходимые для реализации этих представлений и доказаны теоремы об изоморфизме данных функциональных представлений ограниченным дистрибутивным решеткам.

1. Основные определения

1.1 Решетка

Def1. Алгебраическая система называется решеткой, если выполняются:

аксиомы идемпотентности

; ;

аксиомы коммутативности

аксиомы ассоциативности

законы поглощения

;

Решетка называется дистрибутивной, если

Решетка называется ограниченной, если в существуют 0 и 1, нейтральные элементы по сложению (+) и умножению () соответственно.

В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные дистрибутивные решетки.

Пример 1. Легко проверить, что следующие объекты являются ограниченными дистрибутивными решетками:

Def2. Непустое подмножество дистрибутивной решетки называется идеалом решетки , если

Идеал дистрибутивной решетки называется собственным, если .

Собственный идеал дистрибутивной решетки называется простым, если .

Для любого идеала множество называется 0-компонентой идеала .

Пример 2. Простым идеалом решетки (пример 1, рисунок 2) является решетка (рис. 3):

0-компонентой идеала в решетке является множество

Def3. Бинарное отношение ~ в решетке называется конгруэнцией, если выполняются свойства:

1) ~ является отношением рефлексивности, симметричности и транзитивности;

2) ~ сохраняет операции:

Множество всех классов конгруэнтности с операциями образует решетку, называемую фактор-решеткой решетки по конгруэнции ~.

Доказательство. Операции и определяются через представителей классов, и необходимо показать их корректность, т.е. независимость результатов от выбора представителей. Это вытекает в силу гомоморфности

операции и ассоциативны, т.к. ассоциативны операции в , также сохраняются идемпотентность, коммутативность, законы поглощения и дистрибутивности. Классы [0] и [1] будут нейтральными элементами относительно и соответственно. Предложение доказано.

Пример 3. Конгруэнции на решетках.

1) Конгруэнция Ламбека ().

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

называется конгруэнцией Ламбека по простому идеалу решетки .

Теорема Отношение конгруэнция на решетке

Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения очевидны. Пусть и , т.е. и для некоторых . В силу простоты идеала найдется такой элемент , что элемент не лежит в . Из равенства в силу определения решетки следует и учитывая, что , получаем, что , что доказывает транзитивность отношения .

Докажем сохранение операций. Пусть , , что означает для подходящих , а для некоторого . Из первого равенства получаем , а из второго . Почленно сложив равенства, получим , т.е. . Умножим на , а на и получим , откуда или .

2) Конгруэнция Корниша ().

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

называется конгруэнцией Корниша по простому идеалу решетки .

Теорема Отношение конгруэнция на решетке

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Покажем транзитивность. Пусть и . Это значит, по определению конгруэнции Корниша, что и для некоторых . Прибавив к первому равенству получим

.

Осталось показать, что и . Это следует из определения : , для некоторых . Рассмотрим выражение .

Для рассуждения аналогичны.

Докажем сохранение операций.

Сложение: Пусть для некоторых . Требуется доказать, что . По определению конгруэнции: .

Складывая эти равенства, получаем:

,

Где . Тем самым, сохранение операции сложения доказано.

Умножение: Умножая равенства , получаем:

,

откуда очевидно, что операция умножения также сохраняется при этой конгруэнции.

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

также определяет конгруэнцию Корниша.

Доказательство

· - очевидно.

: Пусть для некоторого простого идеала решетки и выполняется отношение , где для некоторых . Тогда , где по определению простого идеала. Или, .

Прибавляя к равенству получим: , что означает выполнимость .

В качестве иллюстрации рассмотрим фактор-решетки и (решетка из примера 2):

1.2 Топологическое пространство

Def4. Пусть дано множество X. Система его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то

.

2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .

3. .

Пара называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.

Пример 4. Обозначим через множество всех простых идеалов решетки . Для любого идеала решетки положим

и покажем, что является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида .

Множество пусто, а . Пусть - идеалы решетки . Тогда

={

.

Таким образом, на введена топология, названная топологией Стоуна-Зарисского. Топологическое пространство с топологией Стоуна-Зарисского называется простым спектром решетки .

Иллюстрация простого спектра для решетки (Пример1, Рис.1):



Пусть дано множество X. Семейство множеств называется покрытием X, если

Если C -- покрытие множества X, то любое подмножество , также являющееся покрытием X, называется подпокрытием.

Компактное пространство -- это топологичес...