Пространство обобщенных функций. Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях. Преобразования Лапласа и Фурье. Обобщенные функции, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами. Нахождение решения в математическом пакете Maple.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Обобщенные функции

1.1 Основные понятия

1.2 Пространство обобщенных функций

1.3 Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

1.4 Свойства обобщенных производных

1.5 Обобщенные функции, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

2. Операции над обобщенными функциями

2.1 Свертка обобщенных функций

2.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций

2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение А Нахождение решения уравнения изгиба балки в математическом пакете Maple

Введение

Со времен Огюстена Коши понятие функции постоянно уточнялось и претерпевало все более широкие обобщения и расширения. Обобщенные функции являются крупнейшим достижение математики XX века. Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики и физики.

Понятие обобщенной функции с одной стороны, дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физические величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, понятие обобщенной функции учитывает эту двойственную природу измерений и потому служит адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. В литературе обобщенные функции часто называют распределением.

В конце 20-х годов П. Дирак ввел так называемую -функцию, обладающую следующим свойством для , если - любая непрерывная функция, то . Конечно и самому Дираку было ясно, что с математической точки зрения это определение бессмысленно, что функция не есть функция, понимаемая в классическом смысле. У О. Хевисайда в его операционном исчислении функция выступает как результат применения оператора к единичной ступеньке. В середине 30-х годов С.Л. Соболев заложил основы теории обобщенных функций как линейных непрерывных функционалов над пространством достаточно «хороших» функций и успешно применял их в исследовании задачи Коши для уравнения гиперболического типа. В послевоенные годы Л. Шварц, опираясь на созданную школой Н. Бурбаки теорию линейных локально выпуклых топологических пространств дал систематическое изложение теории обобщенных функций в его знаменитой двухтомной монографии и указал на ряд важных ее применений.

Отдельные классы сингулярных обобщенных функций по существу рассматривались в пионерских работах С. Бохнера, Ж. Адамара и М. Рисса в связи с задачами «регуляризации» расходящихся рядов и интегралов.

И.М. Гельфанд и Г.Е. Шилов расширяют понятие обобщенной функции включая в рассмотрение целую шкалу пространств основных функций как бесконечно дифференцируемых, так и аналитических. В 50-е годы Н.Н. Боголюбов впервые показал фундаментальную роль обобщенной функции в описании процессов локального взаимодействия элементарных частиц и применил их для построения аксиоматической квантовой теории поля. В это же время методами теории обобщенных функции были установлены фундаментальные результаты для произвольных дифференциальных операторов с постоянными и аналитическими коэффициентами. Следует подчеркнуть, что обобщенные функции обладают рядом замечательных свойств и преимуществ, расширяющих возможности классического математического анализа. Например, любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, т.е. сходящиеся ряды и последовательности их обобщенных функций можно почленно дифференцировать бесконечно число раз. Поэтому использование техники обобщенных функций существенной расширяет класс рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, формализуя элементарные операции.

Целью курсовой работы является исследование обобщенных функций и их применение на практике, в частности, на примере нахождения решения изгиба балки в математическом пакете Maple. Поставленная цель определила постановку следующих задач:

– анализ существующих видов обобщенных функций;

– изучение пространства обобщенных функций;

– решение уравнений в обобщенных функциях.

Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматривается понятие обобщенных функций и их виды, пространство обобщенных функции, дифференциальные уравнения в них. Вторая глава посвящена операциям с обобщенными функциями, применение свертки к обобщенным функциям, исследование преобразований Лапласа и Фурье, этапам вычислений в пакете Maple с краткими сведениями о работе.

В заключении приводится пример нахождения решения уравнения изгиба балки с применением обобщенных функций в математическом пакете Maple.

1. Обобщенные функции

1.1 Основные понятия

Обобщенные функции математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Обобщенные функции были введены впервые в конце 20-х гг. XX в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и ее производных. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.Л. Соболевым в 1936 году при решении задачи Коши для гиперболических уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщенных функций. Важную роль в формировании теории обобщенных функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изучением фундаментальных решений волновых уравнений рассмотрены сходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса.

С другой стороны, к теории обобщенных функций вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье функций степенного роста. Эти преобразования Фурье являются по существу обобщенными функциями и выступают у С. Бохнера как формальные производные непрерывных функций. Обобщенные функции необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно указать хотя бы на тот факт, что количество математических работ, в которых встречается дельта-функция, возросло во много раз.

В дальнейшем теорию обобщенных функций интенсивно развивали многие математики, главным образом из-за потребностей математической физики. Теория обобщенных функций имеет многочисленные применения и все шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально обобщенные функции определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством основных функций . Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или точнее топологией). При этом обычные локально суммируемые функции отождествляются с функционалами (регулярными обобщенными функциями) вида:

. (1)

Произвольная обобщенная функция определяется как функционал , задаваемый равенством:

. (2)

Следовательно, каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций , так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве обобщенных функций вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования обобщенных функций непрерывна, а сходящаяся последовательность обобщенных функций разрешает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над обобщенными функциями, например свертка, преобразование Фурье и Лапласа. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия обобщенных функций, расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование обобщенные функции существенно расширяет круг рассматриваемых задач и приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры:

- -функция Дирака: , описывает плотность массы (заряда), сосредоточенной в точке , единичный импульс;

- функция Хевисайда: , при , , при , ; производная от этой функции равна единичному импульсу;

- плотность диполя момента в точке , ориентированного вдоль оси ;

- плотность простого слоя на поверхности с поверхностной плотностью ;

- плотность двойного слоя на поверхности с поверхностной плотностью момента диполей, ориентированных вдоль направления нормали ;

- свертка ньютонов, потенциал с плотностью , где - любая обобщенная функция (например, из первых пяти пунктов);

- общее решение уравнения колебаний струны задается формулой , где и любые обобщенные функции.

1.2 Пространство обобщенных функций

обобщенный...