Упорядоченные множества

Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
Краткое сожержание материала:

36

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

НИЖНЕКАМСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра информатики математики и естественно -

научных дисциплин

Группа 561

РЕФЕРАТ

по дисциплине «Абстрактная алгебра»

Уровень образования специалист

Тема: Упорядоченные множества

Руководитель ___________________ Р.М. Мунипов

Студент ___________________ А.В. Глазунов

Нижнекамск 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..3

1. Частично упорядоченные множества…………………………………5

2. Вполне упорядоченные множества…………………………………..20

3. Частичные группоиды и их свойства………………………………..23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………….36

Введение

В настоящее время алгебра понимается в основном как общая теория алгебраических операций и отношений. Ее характеризует большая внутренняя естественность исходных идей и задач, единство методов, далеко идущая широта основных понятий. Ее область очерчена четко и ясно. И все же существующие границы теории нельзя признать установленными прочно и окончательно. Все чаще начинает выявляться стремление выйти за ее пределы. Ощущается потребность рассматривать операции не только полные, но и частичные.

Теория частичных действий естественно должна продолжать теорию полных действий. Эта последняя в настоящее время является крайне разветв-ленной, богатой и находится в периоде своего расцвета. Естественно возни-кает мысль о перенесении выработанных там понятий и результатов в новую область. Это, разумеется, необходимо и во многих случаях плодотворно. Од-нако уже с первых шагов развития теории частичных действий дает себя знать значительная специфика этого направления. Часто прямое перенесение результатов теории полных действий оказывается затруднительным или даже невозможным. Привычный алгебраический материал приходится подвергать существенной переработке или переосмыслению, кроме того, возникают со-всем новые понятия и задачи, специфические для нового направления. Для них требуется своя методика исследования.

Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связан-ная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры.

К настоящему времени опубликованы сотни работ, специально посвя-щенных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко.

Пока еще не было достаточно полного и связного изложения теории час-тичных алгебраических действий. Господствует разнобой в исходных поня-тиях и даже в обозначениях и терминологии. Недостает связей между от-дельными работами. Дает себя знать недостаточность разработки отдельных вопросов, нужных для построения общей теории.

1. Частично упорядоченные множества

Бинарное отношениена множестве А называется антисимметрич-ным если:

(а,в А) а ? в в ? а

Бинарное отношение на множестве А называется рефлексивным если:

(aA) aa

Бинарное отношение на множестве А называется транзитивным если:

(a,в,cA) aв вc > а с

Пример 1.

Отношение делимости (нацело) на множестве натуральных чисел N антисимметрично. В самом деле, если ав, ва, то существуют натуральные q₁,qN, такие, что а=вq₁, в=аq откуда а=аq₁q, то есть q₁q=1. Но,

q₁,qN,следовательно q₁ =q=1, откуда следует, что а = в.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка (частичного порядка) на множестве А.

Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка ? на-зывают частично упорядоченным множеством и обозначают < А; ? >.

В дальнейшем для удобства будем пользоваться сокращением ЧУМ, обозначающим частично упорядоченное множество.

Пример 2.

< N, ? > ? обычное нестрогое неравенство чисел (в школьном смысле). Нужно доказать транзитивность, рефлексивность и антисиммет-ричность этого отношения ?.

a) a ? a ,(2 ? 2) - рефлексивность,

b) если а ? в , в ? с, то a ? c, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5 ) - транзитивность,

c) если a ? в , в ? a, то a=в , (3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3 ) - антисимметрич-ность.

Из этого следует, что < N, ? > - ЧУМ.

Пример 3.

< N, > .

a) Отношение делимости на множестве натуральных чисел N реф-лексивно, т.к всякое число кратно самому себе, т.е т.к для лю-бого аN всегда a = a•1 (1N), это , по смыслу отношение , имеем а а . Следовательно, рефлексивно .

б) Если первое число делится нацело на второе(т.е кратное второму), а второе кратно третьему, то первое кратно третьему, значит отношение транзитивно, т.е. если а в, в с, a,в,cN. Значит, существуют такие q,qN, что

a = в q,

в = c q,

откуда

a = c (qq).

Обозначим: q = qqN. Имеем

a = cq,

где qN, т.е. а с - по определению . Следовательно, отношение транзи-тивно.

в) Антисимметричность отношения следует из того, что два натураль-ных числа, кратных друг другу, равны между собой, т.е. если ав, ва, то суще-ствуют такие q₁,qN, что

а=вq₁,

в=аq,

откуда

а=аq₁q,

то есть q₁q=1. Но, q₁,qN,следовательно q₁ =q=1, откуда следует, что а = в. Следовательно антисимметрично.

Поэтому есть частичный порядок и , стало быть, < N, > - ЧУМ(частично упорядоченным множеством).

Элементы a,в ЧУМа А называются несравнимыми и запи-сываются

а||в , если a ? в и в ? а.

Элементы a,в ЧУМа А называются сравнимыми если a ? в или в ? а.

Частичный порядок ? на A называется линейным, а само ЧУМ ли-нейно - упорядоченным или цепью, если любые два элемента из А сравнимы , т.е. для любых a,в A, либо a ? в, либо в ? a.

Пример 4.

< N, ? >, &l...