Теорія і практика обчислення визначників
Краткое сожержание материала:
Размещено на
ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j - номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто
і .
Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал (х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення визначник сума
(х1, …, хi1 + хi2, … , хn) = (х1, … , хi1, … , хn) + (х1, … , хi2, … , хn);
б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): (х1, … , хi, … , хj, … , хn) = -(х1, … , хj, … , хi, … , хn);
в) підкоряється умові нормування:
.
Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а б
Рис. 1
, (1)
де N(j1 j2 … jn) - кількість безладів у перестановці .
Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.
З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .
Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником -1, тобто
Властивості визначників:
1. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7. .
8. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n - 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n - 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (-1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.
10. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11.
12. (Теорема Лапласа).
.
Тут - мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а - алгебраїчне доповнення до цього мінора.
13. (Про зміну елементів визначника).
Якщо , а , то .
3. Приклади розв'язування задач
Задача 1. Обчислити визначник: .
Розв'язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10є):
.
Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.
II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12є). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:
.
III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8.
а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;
б) 1-й рядок, помножений на (-2), додамо до 4-го рядка.
При цьому визначник не зміниться.
Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;
г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.
;
д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:
.
Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює -3.
Задача 2. Обчислити визначник: .
Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п'ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто
det А= C(x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).
Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4 входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, - з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det А = (x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).
Задача 3. Обчислити визначник: .
Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13). Одержуємо:
.
Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11 = 5! = 120;
А22 = 3.4
Мобільні агенти і обчислення
Мобільність. Міграційні програми (migratory applications). Теорія агентної взаємодії. Переваги мобільних агентів. Структура управління мобільного аген...
Теорія інформації та кодування
Визначення кількості інформації на символ повідомлення, обчислення диференційної ентропії системи. Розрахунок послаблення сигналу у децибелах, знаходж...
Теорії походження держави
Залежність державно-правових інститутів від рівня соціально-економічного розвитку. Теорії походження держави. Теологічна чи божественна теорія. Патріа...
Трансактний аналіз як теорія особистості, теорія соціальної взаємодії та аналітичного консультування
Проблеми психологічної адаптації та розладів. Теорія і практика психотерапії за допомогою трансактного аналізу. Виявлення его-станів в груповій терапі...
База даних "Теорія та практика прикладного програмування"
Етапи проектування ІС, алгоритм і необхідність нормалізації. Загальні відомості про роботу з базами даних, їх супроводження у середовищі MS Access. Ме...
