Теорії інтеграла Стільєса

Введення поняття інтеграла Стільєса та його розробка. Визначення проблеми моментів. Загальні умови та класи випадків існування інтеграла Стільєса. Теорема про середній. Застосування інтеграла Стільєса в теорії ймовірностей та у квантовій механіці.
Краткое сожержание материала:

72

Размещено на

Зміст

Введення

Глава I. Розвиток поняття інтеграла

1.1 Проблема моментів

Глава II. Інтеграл Стільєса

2.1 Визначення інтеграла Стільєса

2.2 Загальні умови існування інтеграла Стільєса

2.3 Класи випадків існування інтеграла Стільєса

2.4 Властивості інтеграла Стільєса

2.6 Приведення інтеграла Стільєса до інтеграла Римана

2.7 Обчислення інтегралів Стільєса

2.8 Приклади

2.9 Приклади інтегралів

2.10 Теорема про середній, оцінки

2.11 Граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса

2.12 Приклади й доповнення

Глава III. Застосування інтеграла Стільєса

3.1 Застосування в теорії ймовірностей

3.2 Застосування у квантовій механіці

Висновок

Список літератури

Введення

інтеграл стільєс теорема

Поняття інтеграла Римана, відоме з елементарного курсу аналізу, застосовне лише до таких функцій, які або безперервні або мають "не занадто багато" крапок розриву. Для вимірних функцій, які можуть бути разривні всюди, де вони визначені (або ж взагалі можуть бути задані на абстрактній множині, так що для них поняття безперервності просто не має змісту), римановська конструкція інтеграла стає непридатною. Разом з тим для таких функцій є аналоги в теорії вимірів: це інтеграли Лебега й Стільєса. Тому що інтеграл Стільєса охоплює більше широкий клас функцій, ми зупинимося на розгляді цього інтеграла.

Вибір теми обумовлений тим, що вивченню інтеграла Стільєса приділяється менше уваги, чим інтегралам Римана й Лебега, хоча саме ідея стільєсовського інтегрування багатіше попередніх, визначення інтеграла Стільєса ширше класичного й у деякому відношенні зручніше його.

Ціль роботи - розглянути необхідність введення поняття інтеграла Стільєса, дати точний, компактний, порівняно повний виклад теорії інтеграла Стільєса.

Задачі, які потрібно виконати для досягнення мети:

вивчити літературу по цій темі;

привести приклади використання інтеграла.

Робота складається із трьох глав. Перша присвячена розвитку даного поняття, проблемі моментів, що і привела до необхідності введення нового поняття інтеграла.

У другому розділі розглянуті основні поняття, визначення самого інтеграла, властивості, способи обчислення, розглянута множина прикладів.

Третій розділ присвячений застосуванню інтеграла Стільєса в інших розділах математики й в інших науках.

Глава I. Розвиток поняття інтеграла

1.1 Проблема моментів

Введення поняття інтеграла Стільєса й наступна його розробка пов'язані із проблемою моментів, що складає в наступному. Нехай задана послідовність чисел ; потрібно знайти таку функцію розподілу , щоб члени заданої послідовності були моментами, тобто . Якщо a і b кінцеві, то поставлена задача називається проблемою моментів у кінцевому інтервалі; якщо , те одержуємо проблему моментів Стільєса.

Проблема моментів спочатку ставилася в менш загальній формі. А саме по заданій послідовності чисел шукається така функція , щоб мали місце рівності . Доцільність залучення інтеграла Стільєса для постановки й рішення проблеми моментів напрошується досить природно. З таким положенням речей і зштовхнувся Стільєс при вивченні безперервних дробів, і саме в результаті цих досліджень він запропонував своє узагальнення інтеграла.

Ранні дослідження Стільєса викладені в його статті про механічні квадратури, у якій з'ясовується, чи дозволяють формули квадратур одержувати необмежене наближення інтеграла в змісті Римана. У вступній частині статті Стільєс вирішує задачу про визначення багаточлена

Умовами

 (1)

при ненегативній на .

Ми торкнемося двох моментів зі змісту його статті.

Перший ставиться до задачі про ступінь наближення, що дається квадратурною формулою Гаусса:

Тут Стільєс користується доведеними їм формулами П.Л. Чебишева у вигляді

де . (2)

Він показує, що якщо у квадратурній формулі Гаусса в якості брати числа , одержувані по формулі (2) з ланцюгового дробу, що відповідає інтегралу , а будуть коріннями знаменників підходящих дробів, то формула Гаусса дасть як завгодно точне наближення при зростанні . Для цього ланцюгового дробу числа, мабуть, задовольняють нерівностям

(3)

тому що в цьому випадку .

Другим моментом є наступний. Відзначивши, що його результати корисні при вивченні питання про квадратуру інтеграла , Стільєс порушує питання про квадратурні формули для інтеграла виду

. (4)

Він обмежується тим часткою случаємо, коли - довільна інтегрувальна по Риману функція, а така, що усередині не існує інтервалу , у якому , і показує, що в цьому випадку апроксимація можлива з як завгодно великим ступенем точності. Доказ цього факту опирається на те, що функція

(5)

є безперервною й строго монотонної, а тому існує зворотна функція , і в інтегралі (4) можлива заміна змінних

Які зводять інтеграл (4) до вже вивченого Стільєсом случаю.

Із приводу ж загального випадку Стільєс указав, що "умови, що накладаються на функції , робляться джерелом труднощів, яких удасться уникнути лише за допомогою нових досліджень про самі принципи інтегрального вирахування". Дійсно, якщо не задовольняє умові відсутності в інтервалу , у якому , то вона може виявитися не монотонної, тому обіг у тім виді, у якому таку заміну тоді робили, стає неможливим, і квадратуру інтеграла (4) уже не можна звести до квадратури інтеграла .

Наведені слова Стільєса показують, що вже в 1884 р. він був до деякої міри підготовлений до перегляду поняття інтеграла. До думки про такий перегляд його приводив прийом заміни змінних, котрий відігравав помітну роль у наступній історії інтеграла Стільєса.

Стільєс розглядав безперервні дроби виду

(6)

де - у загальному випадку комплексне число.

Нехай - підходящий дріб порядку для безперервного дробу (6). Тоді існують межі

причому, якщо ряд розходиться, то

якщо ж ряд сходиться, то

і функції й різні.

До цього часу математикам, що займалися безперервними дробами, був відомий зв'язок між інтегралом

(7)

і безперервним дробом

, (8)

де - суть лінійні функції , а числа пов'язані з коефіцієнтами розкладання (7) у ряд по убутних ступенях :

Формулами

Тим зв'язком і керувався Стільєс у своїх дослідженнях. Хід його думки був наступним. Для підходящих дробів справедливі наступні властивості: коріння й дійсні й різні, ступінь менше ступеня . Для -й підходящої дробі справедлива рівність

або, в іншій формі,

Зокрема,

Як уже говорилося при , а тому, якщо позначити через нулі , те й при . Аналогічно, якщо - нулі функції , те й для випадку непарних . У випадку ряду очевидно, що .

Нехай дріб виду (6) задана розкладанням у ряд по убутних ступенях :

(9)

Тоді виявляється, що ряди

сходяться й

(10)

Ці формули дозволяють по ланцюгової дробі (6) знайти її розкладання в ряд (9). Зворотна ж задача - по розкладанню (9) знайти дріб (6) - неминуче приводить до рішення більш-менш загальної проблеми моментів.

Справді, Стільєсу була відома чебишевске-марковська інтерпретація , як маси, зосередженої в крапці , що є коренем . Природно було поширити цю інтерпретацію й на граничний випадок, розглядаючи як маси, розташовані в нулях функції (або ). Після введення формул Стільєс пише: "Розглянемо на нескінченної прямої розподіл маси (позитивної), при якому на відстані від початку зосереджена маса .

Сума

може бути названа моментом порядку мас відносно початку. У такому випадку з попередніх формул треба, що момент порядку системи мас

має значення .

Так само система мас , де , будемо мати ті ж моменти .

Ми назвемо проблемою моментів наступну задачу:

Знайти розподіл позитивної маси на прямій , якщо дані моменти порядку ".

Дійсно, формули (10) приводять до постановки проблеми моментів, якщо прийнято тлумачення і як мас, а як відповідних відстаней цих мас від початку координат.

Ланцюгові дроби що розглядається П.Л. Чебишевим і А.А. Марковим вийшли з розкладання інтеграла (7) і всі коріні знаменників їхніх підходящих дробів були укладені в проміжку . Стільєс же не зв'язував розглянуті їм дроби із заздалегідь даним аналітичним вираженням у вигляді інтеграла, і корінь , виявлялися в загальному випадку розподіленими по всій позитивній частині числової осі. Тому закономірним був вихід у проблемі моментів за межі кінцевого інтервалу й розгляд її на...