Теорема Гурвица и ее приложение

Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
Краткое сожержание материала:

Содержание

Введение

1. Биография А. Гурвица

2. Вспомогательные определения

3. Теорема Ферма

4. Вопрос Гурвица

5. Теорема Гурвица

6. Приложение теоремы Гурвица

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Предметом исследования данной курсовой работы являются различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя «мнимых единиц». Классический пример такой системы - это система комплексных чисел.

Одно из важнейших свойств комплексных чисел выражается тождеством . Если обозначить , , то данное тождество перепишется в виде . прочитанное справа налево это тождество звучит так: «Произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов».

Существуют ли подобные тождества с большим, чем 2, числом квадратов? Как описать такие тождества?

Цель моей курсовой работы ответить на эти вопросы. Вопросы совсем не простые; в течение многих лет занимали умы математиков. Исчерпывающий ответ был получен в XIX веке немецким математиком А.Гурвицем. Он сформулировал интересную теорему, доказательство которой будет проведено позже.

1. Биография А. Гурвица

Адольф Гурвиц (26 марта 1859, Хильдесхайм -- 18 ноября 1919, Цюрих) -- немецкий математик. Родился в семье с еврейскими корнями. Его отец, Соломон Гурвиц, работал в машиностроительной отрасли; мать Эльза умерла, когда Адольфу было всего три года.

В гимназии, куда он поступил в 1868 году, ему преподавал математику Герман Шуберт. Заметив и оценив талант в юном Адольфе, Шуберт убедил его отца помочь сыну с получением дальнейшего образования в университете.

Гурвиц поступил в университет Мюнхена в 1877 году. В течение первого года обучения он посещал лекции Феликса Клейна. Адольф Гурвиц обладал исключительным математическим талантом. Вот что написал профессор Ф.Клейн отцу Адольфа о будущем его сына накануне защиты Гурвицем диссертации: «Прежде всего, я хочу подчеркнуть, что с тех пор, как я тут работаю, я не встречал молодого человека, который мог бы сравниться по специфическому математическому таланту с Вашим сыном. Ему, без сомнения, уготована блестящая научная карьера, уверенность в которой подкрепляется тем фактом, что его дар счастливо сочетается с замечательными человеческими чертами. Единственной опасностью остается его здоровье. Вероятно, Ваш сын уже давно ослаб из-за чрезмерного напряжения в его занятиях. Позвольте мне заверить Вас, что никто не будет так счастлив, как я, если здоровье Вашего сына полностью восстановится. Мне необходима его бескомпромиссная поддержка в моих последних исследованиях». [2]

Через год Гурвиц переезжает в Берлин, где в местном университете посещает лекции Куммера, Кронекера, Вейерштрасса. Заканчивает обучение в Лейпциге (1880).

Преподавательскую карьеру начал в Кёнигсбергском университете, где в 1884 году стал профессором. В этом же году женился на Иде Самуэль, у них было трое детей.

С 1892 года А. Гурвиц - профессор Политехнической школы в Цюрихе. Среди его студентов в Цюрихе были Давид Гильберт и Альберт Эйнштейн.

Его основные труды -- по математическому анализу, теории функций, алгебре и теории чисел. В теории функций комплексного переменного известны теоремы Гурвица. Широкое применение нашел его критерий отрицательности действительных частей корней алгебраических уравнений (критерий Гурвица). Сделал также значительный вклад в геометрию. Гурвиц написал классическую двухтомную монографию по теории аналитических и эллиптических функций. Одним из первых он глубоко исследовал римановы многообразия и их приложения к теории алгебраических кривых. Решил изопериметрическую проблему.

В 1898 году Гурвиц поставил такую задачу: описать все тройки натуральных чисел (r,s,n), для которых возможна формула вида:

В этой формуле все - билинейные комбинации переменных и . Примеры формул такого вида можно получить, исходя из правила умножения комплексных чисел, кватернионов или октав. Задача Гурвица открыта до сих пор, хотя многие выдающиеся математики пытались ее решить, и созданный ими топологический аппарат (характеристические классы, вещественная К-теория) оказался полезным во многих других областях математики. Сам Гурвиц и, независимо, Радон, полностью описали случай s = n=r.

2. Вспомогательные определения

Комплексные числа- числа вида х + iy, где х и у -- действительные числа, а i -- так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен --1); х называют действительной частью, а у -- мнимой частью.

Размерность пространства: векторное пространство над полем F называется -мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число называется размерностью пространства . Размерность пространства обычно обозначают символом .

n-мерное Евклидово пространство над полем F: Вещественное векторное пространство называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства и ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов (и обозначаемое символом ).

Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

(коммутативность или симметрия);

(дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения);

;

, если ; , если .

Подпространство- такое подмножество пространства L, которое само является пространством.

Ортонормированный базис: Говорят, что элементов -мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если

Билинейное отображение: Пусть L-линейное пространство над полем Р. Тогда отображение называется билинейным, если

,

Сюръективное отображение- отображение , которое каждому элементу из сопоставляет, по крайней мере, один прообраз, т.е. .

Ядро: Пусть - гомоморфизм кольца R в кольцо S. Множество , где 0'-нуль в S, -ядро.

Обратимая матрица-матрица, для которой существует обратная матрица.

Невырожденная матрица - квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

Симметричная матрица - матрица является симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей (т.е. A = A'). Другими словами, нижний треугольник квадратной матрицы является "зеркальным отражением" верхнего треугольника.

Характеристика поля - пусть P-поле. Если существует такое целое положительное n, что для каждого выполняется равенство n·r=0, то наименьшее из таких чисел n называется характеристикой поля P. Обозначение - char P.

Кососимметричная матрица- квадратная матрица А над полем P характеристики такая, что, где -- транспонированная матрица.

Линейная независимость системы векторов: Система векторов называется линейно независимой, если существует только тривиальная линейная комбинация данных векторов равная нулевому вектору.

3. Теорема Ферма

Какие целые числа можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел? Это один из самых старых вопросов теории чисел, восходящий, по крайней мере, к Диофанту. Полный ответ на данный вопрос дал Пьер де Ферма (французский математик, 17 августа 1601 -- 12 января 1665). Напишем первые несколько целых чисел, представимых в виде суммы квадратов

0; 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17; 18; 20; 25; 26; 29; 32; 34; 36; 37; 40; 41; 45;

49; 50; 52; 53; 58; 61; 64; 65; 68; 72; 73; 74; 80; 81; 82; 85; 89; 90; 97; 98; 100

Можно сделать несколько экспериментальных выводов. Во-первых, не каждое число представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 3, 6, 11, 12 не представляются в таком виде. Более того, можно заметить, что ни одно число вида 4к+3 не представляются в виде суммы двух квадратов (при целом к). Во-вторых, если каждое из двух чисел является суммой квадратов, то таково и их произведение. Можно сделать и другие заключения.

Остановимся более детально на втором заключении и попробуем обосновать его. Справедлива формула

(1)

Действительно,

и

Из этой формулы, в частности, вытекает, что если каждое из чисел a и b мо...