Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

Ташкентский Архитектурно-Строительный Институт

Факультет: Инженерный Сервис

Кафедра «Математика и естественные науки»

Самостоятельная работа

по предмету «Высшая математика»

на тему: «Случайные события в элементарной теории вероятностей»

Ташкент 2010г.



Содержание

Случайные события, их классификация

Действия над событиями

Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка)

Свойство статистической устойчивости относительной частоты события

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

Элементы комбинаторики

Примеры вычисления вероятностей

Геометрическое определение вероятности

Аксиоматическое определение вероятности

Свойства вероятностей

Конечное вероятностное пространство

Условные вероятности

Вероятность произведения событий. Независимость событий

Вероятность суммы событий

Формула полной вероятности

Формула Байеса (теорема гипотез)

Независимые испытания. Схема Бернулли

Формула Бернулли

Предельные теоремы в схеме Бернулли



Случайные события, их классификация

Сначала определим понятие «случайное событие» исходя из его интуитивного, наглядного понимания. Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого предсказать заранее нельзя. Такие эксперименты в теории вероятностей называют случайными. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять, хотя бы теоретически, при неизменном комплексе условий произвольное число раз.

Случайным событием (или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... .

Пример 1.1. Опыт: бросание игральной кости; событие А -- выпадение 5 очков, событие В -- выпадение четного числа очков, событие С -- выпадение 7 очков, событие D -- выпадение целого числа очков, событие Е -- выпадение не менее 3-х очков, ….

Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются через ?. Элементарные события (их называют также «элементами», «точками», «случаями») рассматриваются как неразложимые и взаимоисключающие исходы ?1, ?2, ?3 … этого опыта.

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или пространством исходов, обозначается через ?.

Рассмотрим пример 1.1. Здесь 6 элементарных событий ?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6. Событие ?i означает, что в результате бросания кости выпало i очков, i = 1,2,3,4,5,6. Пространство элементарных событий таково: ? -- {?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6} или ? = {1,2,3,4,5,6}.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через ?.

Событие называется невозможным если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта, обозначается через ?.

В примере 1.1 события A и В -- случайные, событие С -- невозможное, событие D --- достоверное.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т. е. не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.

Так, в примере 1.1 события А и В -- несовместные, А и Е -- совместные.

События А1, А2, …, Аn называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны.

Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

В примере 1.1 события ?1 - ?6 образуют полную группу, ?1 - ?5 -- нет.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные «шансы».

В примере 1.1 элементарные события ?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6 равновозможны. Выпадение герба (А) или решки (В) при бросании монеты равновозможные события, если, конечно, монета имеет симметричную форму, не погнута, ....

Действия над событиями

Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.

Суммой событий An В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие С = А • В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А и В одновременно).

Разностью событий А и В называется событие С = А -- В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Противоположным событию А называется событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. A означает, что событие А не наступило).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В; записывают А В.

Если А В и В Л, то события А и В называются равными; записывают А = В.

Так, в примере 1.1 (п. 1.2) В = {2,4,6}, Е = {3,4,5,6}, А = {5}, D = {1,2,3,4,5,6}. Тогда: В + Е = {2,3,4,5,6}, В • Е = {4,6}, В - Е = {2}, A = {1,2,3,4,6}, BD, D = ? = {1,2,3,4,5,6}.

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие ? изображается прямоугольником; элементарные случайные события -- точками прямоугольника; случайное событие -- областью внутри него. Действия над событиями можно изобразить так, как показано на рис. 1-5.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

§ A + B = B + A, A • B = B • A (переместительное);

§ (A + B) • C = A • C + B • C, A • B + C = (A + C) • (B + C) (распределительное);

§ ( A + B) + С = A + (B + C), (A • B) • C = A • (B • C) (сочетательное);

§ А + А = А, А • А = А;

§ А + ? = ?, А • ? = А;

§ А + A = ?, А • A = ?;

§ = ?, = ?, = A;

§ A - B = A • ;

§ = • и = + - законы де Моргана

В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Пример 1.2. Доказать формулу

A + B = A + AВ

Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем:

А + В = (А + B)•? = A•? + B•? = A•? + B•(A+A) = A•? + (A+A)•B = A•? + A•B + A•B = (?+B)•A + A•B = A + A•B.

Таким образом, сумму любых двух событий можно представить в виде суммы двух несовместных событий.

Геометрическое доказательство представлено на рис. 6.



Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка)

Определим теперь основные понятия теории вероятностей, следуя теоретико-множественному подходу, разработанному академиком Колмогоровым А. Н. в 1933 году.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом.
Множество ? -- {?} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий (коротко: ПЭС), а сами исходы ? -- элементарными событиями (или «элементами», «точками»).

Случайным событием А (или просто событием А) называется любое подмножество множества ?, если ? конечно или счетно (т. е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел): А ?.

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства ?, называются благоприятствующими событию А.

Множество ? называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие; в результате опыта оно обязательно произойдет.

Пустое множество ? называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.

Пример 1.3. Опыт: один раз бросают игральную кость. В этом случае ПЭС таково: ? = {1,2,3, 4,5,6} или ? = {?1, ?2, ?3 ?4, ?5, ?6}, где ?i -- элементарное событие, состоящее в выпадении грани с i очками (i = ). В данном случае ? конечно. Примером события А является, например, выпадение нечетного числа очков; очевидно, что А =...