Решение треугольников

Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2»

Решение треугольников

Работу выполнил:

Иванов Алексей

Ученик 9в класса

МОУ СОШ № 2

Руководитель: Кабакова С.В.

Алапаевск

2006 г.

План

Введение.

Треугольники:

1.Определение;

2. Сумма углов треугольника;

3. Площадь треугольника;

4. Виды треугольников;

5. Свойства равнобедренного треугольника;

6. Свойства прямоугольного треугольника;

7. Равные треугольники. Признаки равенства;

8. Признаки равенства прямоугольных треугольников;

9. Теорема Пифагора;

10. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника;

11. Подобные треугольники. Признаки подобия;

12. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике;

13. Средняя линия треугольника;

14. Описанный и вписанный треугольник;

15. Соотношение между сторонами и углами:

а) треугольника

б) прямоугольного треугольника

Практическая часть.

Заключение.

Список литературы.

Введение

Простейший из многоугольников - треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся(или почти вся) геометрия со времен Начал Евклида покоится на “трёх китах” - трёх признаках равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Учитывая всю значимость треугольников для геометрии, я решил взять для написания реферата именно эту тему, при этом я поставил для себя следующие задачи:

1) Обобщить и углубить свои знания по данной теме;

2) Отработать навыки решения задач на треугольники;

3) Разобрать решения более сложных и интересных задач.

В дальнейшем после окончания школы я хотел бы поступить в какой-нибудь технический вуз, и, думаю, что навыки приобретённые мною при написании реферата помогут мне в учёбе, при сдаче экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

При написании реферата я использовал учебное пособие - “Геометрия” 7-9 класс Л.С.Атанасян, материалы на электронном носителе, а также сборники задач - “Задачи повышенной трудности по геометрии 7-11класс” И.В.Парнасский, подготовительные курсы “Математика” Г.А.Гальперин, а также материал для подготовки учащихся к Единому государственному экзамену под редакцией Иванова О.А.

Надеюсь, что моя работа по изучению темы “Треугольники” не ограничится написанием реферата, я собираюсь продолжить работу и в старших классах, для более тщательной подготовки к сдаче выпускных экзаменов и поступлению в ВУЗ.

Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков, попарно соединяющих три точки не лежащие на одной прямой.

Отрезки - стороны треугольника, точки - вершины.

В

Обозначение - ?АВС

Треугольник имеет:

1) Три стороны - АВ, ВС, АС.

2) Три вершины - А, В, С.

3) Три угла - Размещено на

Размещено на

А, Размещено на

Размещено на

В, Размещено на

Размещено на

С.

А С

Периметром треугольника называется сумма длин трёх его сторон.

Сумма углов треугольника.

Сумма углов треугольника ровна 180°.

Дано:

?АВС

Доказать: Размещено на

Размещено на

А+Размещено на

Размещено на

В+Размещено на

Размещено на

С = 180°

Доказательство:

1) Проведём через вершину В прямую б, параллельную стороне АС.

2) Т.к. б | | АС => Размещено на

Размещено на

1 = Размещено на

Размещено на

4 (как накрест лежащие углы)

Размещено на

Размещено на

3 = Размещено на

Размещено на

5 (как накрест лежащие углы).

3) Размещено на

Размещено на

4+Размещено на

Размещено на

2+Размещено на

Размещено на

5 = 180° (как углы развёрнутого угла)

Размещено на

Размещено на

1 = Размещено на

Размещено на

4 =>Размещено на

Размещено на

1+Размещено на

Размещено на

2+Размещено на

Размещено на

3 = 180° =>

Размещено на

Размещено на

3 = Размещено на

Размещено на

5

=>Размещено на

Размещено на

А+Размещено на

Размещено на

В+Размещено на

Размещено на

С = 180°

Что и требовалось доказать.

Пример 1

Найдите угол С треугольника ?АВС, если А=65⁰, В=57⁰

Решение:

1) По теореме о сумме углов треугольника Размещено на

Размещено на

А+Размещено на

Размещено на

В+Размещено на

Размещено на

С=180°

А=65⁰ =>Размещено на

Размещено на

С=180°-(65⁰+57⁰)=58⁰

В=57⁰

Ответ: Размещено на

Размещено на

С=58⁰

Площадь треугольников.

I. Площадь треугольника ровна половине произведения его основания на высоту.

II.

Дано:

?АВС

ВК - высота

АС - основание

Доказать: S_?АВС =АС · ВК

Доказательство:

1) Достроим ?АВС до параллелограмма АВСD, так чтобы ВD||АС и СВ||АВ.

2) Т.к. АВСD - параллелограмм => АВ = CD

ВD = АС.

3) S_АВСD = АС · ВК

=> S_?АВС + S_?BDC = АС · ВК.

S_АВСD = S_?АВС + S_?BDC

4) Рассмотрим ?АВС и ?ВDС.

ВС - общая сторона

АВ = CD => ?АВС = ?ВDС (по трём сторонам) => S_?АВС = S_?BDC

ВD = АС

5) Т.к. S_?АВС + S_?BDC = АС · ВК

S_?АВС = S_?BDC => 2S_?АВС = АС · ВК => S_?АВС = АС · ВК

Что и требовалось доказать.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Дано:

?АВС

ВС = а

АС = b

S - площадь треугольника

Доказать: S_?ABC = Доказательство:

1) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке С, так чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка...