Решение задач по высшей математике

Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
Краткое сожержание материала:

Задача 10 Даны матрицы

	1	1	2		2	-1	1		1	0	0
А=	-2	0	2	В=	3	4	-2	Е=	0	1	0
	0	-1	0		1	0	-1		0	0	1

Найти матрицу С = 5В - АE + BA -2Е

Решение:

2 -1 1 1 1 2

BA= 3 4 -2 · -2 0 2

1 0 -1 0 -1 0

2*1+(-1)*(-2)+1*0 2*1+(-1)*0+1*(-1) 2*2+(-1)*2+1*0

3*1+4*(-2)+(-2)*0 3*1+4*0+(-2)*(-1) 3*2+4*2+(-2)*0

2*1+(-1)*(-2)+1*0 2*1+(-1)*0+1*(-1) 2*2+(-1)*2+1*0

4 1 2

= -5 5 14

1 2 2

10 -5 5 2 0 0

5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,

5 0 -5 0 0 2

1 1 2

т.к. Е - единичная матрица АE = -2 0 2

0 -1 0

	10-1+4-2	-5-1+1-0	5-2+2-0
С=	15+2-5-0	20-0+5-2	-10-2+14-0
	5-0+1-0	0+1+2-0	-5-0+2-2
11	-5	5
12	23	2
6	3	-5

Задача 20

Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

x + 2y + z = 5

x - y -2z = -1

2x + y + z = 4

Решение:

Метод Гаусса.

1	2	1	5		1	2	1	5		1	2	1	5
1	-1	-2	-1	~	0	-3	-3	-6	~	0	-3	-3	-6
2	1	1	4		0	-3	-1	-6		0	0	2	0

2z = 0, z = 0; -3y -3•0 = -6, y = 2; x + 2•2 + 1•0 = 5, x = 1.

Решение системы {1;2;0}

По формулам Крамера:

- определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

x, y, z - получаются из путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.

	1	2	1
Д=	1	-1	-2	= -1+1-8+2-2+2= -6
	2	1	1

	5	2	1
Дx=	-1	-1	-2	= -5-1-16+4+2+10 = -6
	4	1	1

X=Д_x/Д= -6/(-6) = 1

	1	5	1
Дy=	1	-1	-2	= -1+4-20+2+8-5 = -12
	2	4	1

Y=Д_y/Д= -12/(-6) =2

Z=Д_z/Д= 0/(-6) = 0

	1	2	5
Дя=	1	-1	-1	= -4+5-4+10+1-8 = 0
	2	1	4

Решение системы {1;2;0}

Задача 30

На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

Найти:

- длину стороны АВ

- уравнение стороны АВ

- уравнение медианы АD

- уравнение высоты СЕ

- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

- внутренний угол при вершине А

- площадь треугольника АВС

- координаты точки Е

- сделать чертеж

Решение:

1. Длина стороны АВ:

АВ= 5,385

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

; ;

у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k--_AB= 2/5

3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

Координа...