Разбиение натурального ряда

Рациональные и иррациональные числа и их свойства. Гипотеза Акулича и явные формулы. Разбиение натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности. Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Отдел образования администрации Центрального района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция математика

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

По теме

Разбиение натурального ряда

Сорока Александра Александровна

Василькова Евгения Сергеевна

Учащихся 11 В класса МОУ СОШ №4

Центрального района

8-905-958-2583

8-913-954-3357

Руководитель: Тропина Наталья

Валерьяновна,

Кандидат педагогических наук

доцент кафедры математического анализа

НГПУ

(работа выполнена в МОУ СОШ №4)

Новосибирск 2008г.

Содержание

Введение

§1. Основные понятия и определения

§2. Две последовательности. Их свойства

§3. Упражнения

§4. Геометрическая интерпретация

§5. Некоторые приложения (Палиндромы)

Заключение

Список литературы

рациональный иррациональный число

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является изучение вопроса о разбиениях натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности.

Работа состоит из пяти параграфов:

Первый параграф посвящен понятиям и определениям, которые пригодятся нам в работе.

Во втором параграфе идет речь о построении двух последовательностей и о гипотезе Акулича.

В третьем параграфе приведены упражнения.

Четвертый параграф посвящен геометрической интерпретации построения последовательностей.

В пятом параграфе приведены некоторые приложения.

§1 Основные понятия и определения

Целая и дробная части числа

Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.

Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" -- целый).

Если x принадлежит промежутку

[r; r +1),

где r -- целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).

Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x - [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.

Примеры

[5]=5	[7,2]=7	[-3]=-3	[-4,2]=-5	[0]=0
{5}=0	{7,2}=0,2	{-3}=0	{-4,2}=0,8	{0}=

Свойство целой части

[x+n] = [x]+n

где n - натуральное число

Рациональные и иррациональные числа и их свойства

Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби

где m - целое число, а n - натуральное.

Определение 4. Если число не представимо в виде , то такое число называется иррациональным.

Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примеры

0,5=-рациональное число

0,(3)= - рациональное число

1,0123456789101112…-иррациональное число

- иррациональное число

Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами

1. Если - рациональные числа, то , , , , - рациональные числа.

Дано: Доказательство

; - рациональное

2. Если r-рациональное число, -иррациональное число, то

- иррациональные числа.

Доказательство: (от противного)

Предположим что

но - противоречие

3. Если ,то про ничего определенного нельзя сказать.

Примеры

§2 Две последовательности. Их свойства

В этом параграфе речь пойдет о задачах, посвященных разбиению натурального ряда на последовательности и о теореме, доказывающей их.

Рассмотрим один из способов разбиения натурального ряда на две возрастающие непересекающиеся последовательности

и

которые при любом натуральном n удовлетворяют условию .

Двигаясь по натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеих последовательностей.

Поскольку все , то наименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться .

Следовательно

и так далее. Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая его равным , затем, находя по формуле

можем строить последовательности.

В 1877 году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами”. Т.е.

и

заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если

0<x<1 и xQ

Гипотеза Акулича и явные формулы

И.Ф. Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел к количеству b-чисел стремится к «золотому сечению»

(где a-числа - числа, принадлежащие последовательности , b-числа- числа, принадлежащие последовательности ).

[(1+)n/2]

=[(1+)n/2]+n=[(3+)n/2]

Выведем из явных формул гипотезу Акулича.

Обозначим

;

Рассмотрим натуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел среди первых N натуральных чисел, если последовательности заданы формулами:

;

Неравенства равносильно, по определению целой части, неравенству <N+1, т.е. неравенству n<(N+1)/. Значит, a-чисел среди первых N натуральных чисел имеется ровно [(N+1)/]. Аналогично, b-чисел

[(N+1)/]

Тогда отношение количества a - чисел к количеству b- чисел равно

Устремим N к бесконечности, получим

Гипотеза оказалась верна, при условии что обе последовательности и заданы явными формулами

[(1+)