Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина

Лабораторная работа №2

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Выполнила:

студентка группы МП-31

Кальницкая Б.М.

Проверил:

доц. Скорик В.А.

Харьков 2014



Постановка задачи

I. Найти решение систем линейных алгебраических уравнений Ах=b, найти А-1, вычислить det A.

1. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке.

2. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента в столбце.

3. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента в матрице. На печать вывести исходную матрицу A, вектор b, решение x, невязку, det A, А-1. Сравнить полученые результаты.

II. Найти решение систем линейных алгебраических уравнений Ах=b, вычислить det A.

1. Методом факторизации.

Напечать вывести исходную матрицу A, вектор b, решение x, невязку, вычислить det A. Сравнить полученые результаты.

Вариант №4

А = , b =

Метод Факторизации

Теорема.

Пусть



Тогда А представима единственным образом в виде где

- нижнетреугольная,

- верхнетреугольная;

.

При этом решение сводится к решению двух систем

Листинг программы

#include "stdafx.h"

#include <stdio.h>

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

const int n = 4;

int main()

{

int i = 0, j = 0, k = 0, m = 0;

double A[n][n], B[n][n], C[n][n], f[n], x[n], y[n], r[n], Ax[n], max = -1;

cout << " Our matrix A is: " << endl;

for (i = 0; i<n; i++)

{

for (j = 0; j<n; j++)

{

A[0][0] = 0.11;

A[0][1] = -0.17;

A[0][2] = 0.72;

A[0][3] = -0.34;

A[1][0] = 0.81;

A[1][1] = 0.12;

A[1][2] = -0.91;

A[1][3] = 0.17;

A[2][0] = 0.17;

A[2][1] = -0.18;

A[2][2] = 1;

A[2][3] = 0.28;

A[3][0] = 0.13;

A[3][1] = 0.17;

A[3][2] = -0.99;

A[3][3] = 0.35;

B[i][j] = 0;

C[i][j] = 0;

x[i] = 0;

y[i] = 0;

printf(" %.4f", A[i][j], " ");

}

cout << endl;

}

cout << " Our string f is: " << endl;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

f[0] = 0.17;

f[1] = 1;

f[2] = 0.21;

f[3] = 2.71;

printf(" %.0f", f[i], " ");

}

cout << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = i; j < n; j++)

{

double s = 0;

for (int k = 0; k < i; k++)

s += B[j][k] * C[k][i];

B[j][i] = A[j][i] - s;

s = 0;

for (int k = 0; k < i; k++)

s += B[i][k] * C[k][j];

C[i][j] = (A[i][j] - s) / B[i][i];

}

}

cout << " Our matrix B is: " << endl;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

for (int j = 0; j<i + 1; j++)

{

printf(" %.4f", B[i][j], " ");

}

cout << endl;

}

cout << " Our matrix C is: " << endl;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

for (int j = i; j<n; j++)

{

printf(" %.4f", C[i][j], " ");

}

cout << endl;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

double s = 0;

for (int k = 0; k < i; k++)

s += B[i][k] * y[k];

y[i] = (f[i] - s) / B[i][i];

}

for (int i = n - 1; i >= 0; i--)

{

double s = 0;

for (int k = i + 1; k < n; k++)

s += C[i][k] * x[k];

x[i] = y[i] - s;

}

cout << "Vector x" << endl;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

cout << x[i] << " ";

}

cout << endl;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

double s = 0;

for (int j = 0; j<n; j++)

{

s += A[i][j] * x[j];

}

Ax[i] = s;

r[i] = Ax[i] - f[i];

}

cout << "Nevazka" << endl;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

printf("%1.18f\n", r[i]);

}

max = 0;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

if (max< fabs(r[i]))

{

max = fabs(r[i]);

}

}

printf("\n ||Ax-f||=%1.18f\n", max);

double det = 1;

for (int i = 0; i<n; i++)

{

det *= B[i][i];

}

cout << "Determinant:" << endl;

cout << det << endl;

return 0;

}

Распечатка результатов

Our matrix A is:

0.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400

0.8100 0.1200 -0.9100 0.1700

0.1700 -0.1800 1.0000 0.2800

0.1300 0.1700 -0.9900 0.3500

Our string f is:

0.1700 1.0000 0.2100 2.7100

Our matrix B is:

0.1100

0.8100 1.3718

0.1700 0.0827 0.2619

0.1300 0.3709 -0.1614 0.4259

Our matrix C is:

1.0000 -1.5455 6.5455 -3.0909

1.0000 -4.5282 1.9490

1.0000 2.4600

1.0000

Vector x

-5.0073 -79.3203 -14.8955 5.99673

Nevazka

-0.000000000000000527

0.000000000000001110

-0.000000000000002470

0.000000000000000444

||Ax-f||=0.000000000000002470

Determinant:

0.0168305

Метод Гаусса

Пусть , матрица, невырожденная.

Рассмотрим систему

= - известный n-мерный вектор

=; = - неизвестный

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений с выбором главного или ведущего элемента матрицы.

Рассмотрим 1 шаг:

.

Если то меняем местами и строки:

то : .



Если то меняем местами и столбцы:

то : .

Делим 1-ю строку полученной матрицы на элемент :

Исключаем из всех уравнений, кроме 1-го, т. е.:

,

В результате получим матрицу

.

Пусть проделано k-1 шагов:

.



Рассмотрим k-й шаг:

k.1. .

k.2. Если то меняем местами и строки:

о .

k.3. Если то меняем местами и столбцы:

то ; .

k.4. Делим k-ю строку полученной матрицы на элемент :

k.5. Исключаем из всех уравнений, кроме k-го, т. е.

В результате получим матрицу

.



После n-го шага получаем матрицу

Решение находим следующим образом:

Метод Гаусса с выбором главного элемента в строке матрицы.

Рассмотрим k-й шаг,

k.1.

k.2. См. предыдущий метод.

k.3. См. предыдущий метод.

k.4. См. предыдущий метод.

k.5. См. предыдущий метод.

Решение находим следующим образом:

...