Прямая. Плоскость. Кривые и поверхности второго порядка
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Задание 1:
Даны вершины треугольника АВС с координатами А (-4; -1), В (8; 8), С (6; -6).
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнение стороны АВ;
3) уравнение высоты СD и ее длину;
4) уравнение медианы АМ и координаты т. К пересечения медианы с высотой;
5) уравнение прямой проходящей ч/з т.К
Решение:
1. Расстояние d между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) определяется по формуле:
Найдем длину стороны АВ:
2. Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:
Найдем уравнение прямой АВ:
- уравнение прямой АВ.
3. уравнение высоты СD и ее длину;
Уравнение высоты, опущенной из точки М0(х0; у0) на прямую Ах + Ву + С=0. представляется уравнением:
Уравнение высоты, опущенной из точки С(6; -6) на прямую АВ:
представляется уравнением:
- уравнение искомой высоты СD
Расстояние d от точки М1(х1; у1) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:
Найдем длину высоты СD; С(6; -6);
4. Уравнение медианы АМ т.к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле: В(8; 8), С(6; -6).
;
Следовательно
Найдем уравнение прямой АМ:
- уравнение медианы АМ.
Так как К - точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.
К(1,5; 0)
6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ
Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1) и параллельная прямой Ах+Ву+С=0, представляется уравнением А(х-х1)+В(у-у1)=0.
- уравнение прямой АВ.
Поэтому:
3(х-1,5) - 4(у-0) = 0; 3х - 4,5 - 4у =0
3х - 4у - 4,5 =0
уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку К.
Задание 2
При каких значениях А и С прямые
а) перпендикулярны; б) параллельны; в) совпадают.
Решение:
а) перпендикулярны
При любом С и А = 9 прямые перпендикулярны
б) параллельны
При любом С и А = -4 прямые параллельны
в) совпадают
При С = -8 и А = -4 прямые совпадают
Задание 3:
Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой ВС
Решение:
Плоскость, проходящая через точку М0(х0; у0; z0) и перпендикулярная прямой
Имеет нормальный вектор представляется уравнением
Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеет вид:
Найдем уравнение прямой ВС:
- уравнение прямой ВС.
- уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору ВС;
Задание 4:
Найти расстояние от т. , до плоскости, проходящей через точки:
Решение:
1) Расстояние d между точками М1(х1; у1; z1) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 по формуле:
Составим уравнение плоскости
Уравнение плоскости проходящей через три точки М0(х0; у0; z0), М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеет вид:
- уравнение плоскости проходящей через точки:
.
Найдем длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на грань АВС
Задание 5
Найти угол между плоскостями
Решение:
А1х + В1у + С1z + D1=0; А2х + В2у + С2z + D2=0
Находится по формуле:
Задание 6
При каких значениях l прямая параллельна плоскости
Решение:
При l = 6 прямая параллельна плоскости
Задание 7
Перейти к каноническим уравнениям прямой:
треугольник прямая плоскость канонический уравнение
Решение:
Найдем координаты любой точки М на данной прямой. Пусть х = 1, тогда можем найти у и z.
Вычислим направляющие коэффициенты:
- каноническое уравнение прямой.
Задание 8
Найти точку пересечения прямой и плоскости
Решение:
Запишем параметрические уравнения прямой:
Подставим их в уравнение плоскости
Подставляем значение в параметрическое уравнение прямой.
Точка пересечения прямой и плоскости (2; -1; 4).
Задание 9
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить его
Решение:
- уравнение окружности с центром в т. (2; -3) и радиусом 3.
Задание 10
Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Определите вид кривой. Изобразите кривую. Найдите фокусы и директрисы. Отметьте на рисунке
Решение:
- парабола
Расстояние между фокусами FF/ равно 2c
Следовательно, координаты фокусов:
Вершины эллипса имеют координаты:
А/ А большая ось
В/В и ОВ/ малая ось
Эксцентриситет найдем по формуле:
Найдем директрисы:
Вершины точки D и D/ имеют координаты:
Прямые проходящие через точки D и D/ параллельно малой оси эллипса являются директрисами эллипса.
Сделаем чертеж:
Расстояние между фокусами FF/ равно 2c
Следовательно координаты фокусов:
Вершины гиперболы имеют координаты:
ОА и ОА/ действительные полуоси
ОВ и ОВ/ мнимые полуоси
Асимптоты гиперболы:
Эксцентриситет найдем по формуле:
Найдем директрисы:
Вершины точки D и D/ имеют координаты:
Прямые проходящие через точки D и D/ параллельно оси ОУ являются директрисами гиперболы.
Сделаем чертеж:
Задание 11
Привести к каноническому виду уравнение поверхности и построить его
Решение:
- двуполостный гиперболоид
- эллипсоид.
Размещено на Allbest.ru
...Кривые Евклидова пространства
Касательная прямая и нормальная плоскость кривой. Соприкасающаяся плоскость, кривизна и кручение, первая и вторая квадратичная форма, касательная плос...
Кривые и поверхности второго порядка
Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование...
Кривые второго порядка
Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к...
Кривые второго порядка
Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая...
Аналитическая геометрия: Конспект лекций по курсу высшей математики для вечернего факультета
Пособие написано на основе опыта чтения лекций и ведения семинаров на вечернем факультете МИФИ. Содержит материал по следующим темам: Системы линейных...