Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы "Использование неравенств при решении олимпиадных задач". Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.
Краткое сожержание материала:

26

Министерство образования и науки Украины

Донецкий государственный институт искусственного интеллекта

Донецкий лицей «Интеллект»

Кафедра математики и информатики

Научная работа

на тему: «Применение неравенств при решении олимпиадных задач».

( электронный учебник )

Выполнила:

ученица 11-Г класса

Борисенкова О.Д.

Научный руководитель:

Степанов Т.Л.

Донецк 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Постановка задачи

2 Актуальность

3 Реализация задачи

3.1 Теоретические сведения

3.2 Решение задач с применением данных неравенств

3.3 Сборник задач

3.4 Тесты

4 Инструкция по пользованию

Выводы

Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе.

Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли и Йенсена.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Таким образом, целью данной работы является разработка электронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал по выбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения по всем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадных задач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовые вопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний.

Для реализации поставленной задачи был выбран язык электронной разметки текста HTML.

2. АКТУАЛЬНОСТЬ

Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е. этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы и подготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов.

Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним не требуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроме стандартного Internet-браузера.

Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация по теме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так, чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений по некоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах. Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающе для того, чтобы разобраться и понять.

3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Теоретические сведения

Неравенство Йенсена

Теорема (неравенство Йенсена):

Пусть - функция, выпуклая на некотором интервале, x₁, x ₂, …, x _n - произвольные числа из этого интервала, а ?₁, ?₂, …, ?_n - произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:

. (1)

Доказательство:

Рассмотрим на графике функции точки А₁, А₂, …, А_n с абсциссами х₁, x₂, …, x_n. Расположим в этих точках грузы с массами, m₂, …, m_n. Центр масс этих точек имеет координаты

.

Так как точки А₁, А₂, …, А_n принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик - выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.

. (2)

рис. 1

Для завершения доказательства остаётся положить m₁= ?₁, …, m_n= ?_n.

Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию .

Неравенство Коши-Буняковского

На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.

Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a₁, a₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_n - произвольные положительные числа.

Доказательство:

Как мы знаем, функция - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):

, (m_i > 0).

Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство.

Неравенство Коши

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Пусть x₁, x ₂, …, x _n - неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число -

.

Средним геометрическим чисел x₁, x ₂, …, x _n называется число -

_.

Теорема 1. Если x₁, x ₂, …, x _n - неотрицательные числа, то имеет место неравенство

. (1)

Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства

. Действительно, , откуда

. (2)

Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x₁=x₂.

Пусть x₁, x ₂, …, x _n - положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число -

.

Теорема 2. Если x₁, x ₂, …, x _n - положительные числа, то имеют место неравенства

A_n ? G_n ? H_n.

Действительно, применяя к числам неравенство Коши, получаем

, (3)

откуда G_n ? H_n.

Пусть x₁, x ₂, …, x _n - произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число -

.

Теорема 3. Если x₁, x ₂, …, x _n - положительные числа, то имеют место неравенства

K_n ? A_n ? G_n ? H_n , или

. (4)

Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Для двух чисел неравенство (4) можно записать как

,

которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,

аналогично доказывается и для n чисел, откуда K_n ? A_n.

Неравенство Бернулли

Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач - это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:

Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место

(1)

причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.

Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если n<0 или n>1, то

, (2)

если 0<n<1, то

, (3)

где x > -1.