Приведення поверхонь іншого порядку до канонічного вигляду

Теорія приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду в системі побудови графіків. Основні поняття (лінійний оператор, власний вектор і власне значення матриці, характеристичне рівняння, квадратична форма) і теореми.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Реферат

ЛІНІЙНИЙ ОПЕРАТОР, ВЛАСНЕ ЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ, ВЛАСНИЙ ВЕКТОР, ХАРАКТЕРИСТИЧНЕ РІВНЯННЯ, КАНОНІЧНИЙ ВИД, КВАДРАТИЧНА ФОРМА, КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ.

Ціль роботи: навчитися на практиці використовувати отримані знання за курсом «Алгебра й геометрія» для рішення задачі приведення до канонічного виду загальних рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Результат роботи: закріплення й узагальнення знань по таких розділах курсу, як «Лінійне перетворення» й «Квадратичні форми», отриманим під час вивчення курсу «Алгебра й геометрія».

крива поверхня графік вектор

Зміст

Вступ

1. Теоретична частина

1.1 Основні поняття та теореми

1.2 Основні методи розв'язання

1.3 Відповіді на теоретичні запитання

2. Практична частина

2.1 Постановка та розв'язання задачі 1 практичного завдання

2.2 Постановка та розв'язання задачі 2 практичного завдання

Висновок

Список використаних джерел

Вступ

Курс «Алгебра та геометрія» займає особливе місце в системі математичних дисциплін, які вивчаються студентами спеціальностей ПМ, САУ й ІНФ, як базовий курс. Вивчення курсу необхідно для освоєння основних понять і методів аналітичної геометрії й лінійної алгебри для рішення конкретних задач, а також забезпечення інших математичних дисциплін.

Метою курсової роботи є поглиблення теоретичних знань за курсом «Алгебра та геометрія», розвиток навичок самостійної роботи, практичне застосування алгебри й геометрії при рішенні прикладних задач.

Дана робота містить рішення задачі приведення до канонічного виду загальних рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Робота складається із двох частин - теоретичної й практичної. У теоретичній частині наведені визначення таких понять, як лінійний оператор, власний вектор і власне значення матриці, характеристичне рівняння, квадратична форма. Викладено теорію приведення загального рішення кривих і поверхонь другого порядку до канонічного виду. Наведено відповіді на теоретичні питання.

У практичній частині побудований графік кривої L в R² у канонічному виді й графік поверхні P в R³ у канонічному виді.

1. Теоретична частина

1.1 Основні поняття й теореми

1.1.1 Лінійні оператори

У векторному просторі заданий оператор, або перетворення, А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність певний вектор або, .

Оператор (перетворення) називається лінійним, якщо для будь-яких двох векторів х та у з та довільного числа виконується:

1) ;

2) .

Вектор називається образом вектора , а вектор х - прообразом вектора при перетворенні .

Виберемо в просторі базис . Тоді якщо

,

то в силу лінійності оператора маємо

, .

Але тому що (де ) - це теж вектора з , те можна розкласти по базисі .

Нехай

,

Тоді

Якщо координати вектора в тім же базисі е_х, е₂,..., е_п, тобто якщо

,

те, через одиничність розкладання вектора по базисі, маємо

,

(1.1)

Кожному лінійному операторові в даному базисі відповідає матриця

, (1.2)

-й стовпець якої утворений коефіцієнтами розкладання вектора по базисі ; при цьому коефіцієнти розкладань (1.1) координат вектора по координатах вектора утворюють рядки матриці А.

Якщо у векторному просторі заданий базис, то кожному лінійному операторові відповідає певна квадратна матриця порядку та, обернено, кожній такій матриці відповідає певний такий оператор. Тому лінійний оператор і відповідну йому (у даному базисі) матрицю ми будемо позначати однієї й тією же буквою: , , _ лінійні оператори. А, В, З - відповідні їм матриці. Матриця А називається матрицею лінійного оператора .

Легко бачити, що для всякого лінійного оператора

.

При цьому, якщо тільки при х = 0, то оператор називається не виродженим; якщо ж найдеться такий вектор , що , то оператор - вироджений. Отже, для того, щоб оператор був не виродженим, необхідно й досить, щоб визначник матриці А цього оператора (у будь-якому базисі) був відмінний від нуля. Матриця, визначник якої відмінний від нуля, називається не виродженою матрицею.

1.1.2 Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Вектор називається власним вектором лінійного оператора , якщо найдеться таке число , що ; це називається відповідним вектору х власним значенням оператора (матриці А).

1.1.3 Знаходження власного значення й власного вектора лінійного оператора

Припустимо, що х - власний вектор, а відповідне йому власне значення лінійного оператора . Тоді . Виберемо в просторі який-небудь базис , і нехай , а матриця оператора А в цьому базисі А=[ ]. Тоді

.

звідки, через одиничність розкладання вектора по базисі

(1.3)

Для існування ненульового рішення цієї (однорідної) системи необхідно й досить, щоб її визначник був дорівнює нулю:

. (1.4)

Або, більш коротко,

. (1.5)

Рівняння (1.4) називається характеристичним рівнянням матриці А; воно служить для знаходження власних значень, які називаються також характеристичними коріннями матриці А (або власними значеннями матриці А). Знайшовши з (1.4) яке-небудь власне значення , ми можемо знайти відповідний власний вектор із системи рівнянь (1.3). Числовий вектор, що виходить

,

задовольняючий рівнянню , називається також власним вектором матриці А.

1.1.4 Квадратичні форми

Квадратичною формою від декількох змінних називається однорідний багаточлен другого ступеня від цих змінних.

Наприклад, квадратична форма від змінних у загальному випадку має вигляд

, (1.6)

де - деякі числові коефіцієнти (а двійки поставлені для спрощення формул, що виходять).

Матрицею такої форми називається симетрична матриця.

.

Будемо розглядати як декартові координати в деякому базисі . Якщо перейти до нового декартового базису , то й у формі (1.6) треба зробити заміну змінних, при чому матриця Т переходу буде ортогональною. У результаті форма буде виражена через нові координати , можна довести, що при цьому нова матриця виражається через стару по формулі

A = T^-1 AT (1.7)

Відомо, що базис можна вибрати так (взявши як ці вектори власні вектори оператора, що відповідає матриці А, тобто власні вектори матриці), що матриця А' вийде діагональної

.

Але тоді квадратична форма в нових змінних здобуває вид:

(1.8)

де - характеристичних корінь матриці А.

Можна сказати, що квадратичну форму (1.6) можна за допомогою ортогонального перетворення привести до діагонального виду (1.8).

1.2 Основні методи рішення

1.2.1 Спрощення рівнянь другого порядку на площині

Перетворення квадратичної форми застосовується, зокрема, до спрощення рівнянь ліній і поверхонь другого порядку. Розглянемо рівняння поверхонь.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат . Якщо х і у - координати довільної крапки на площині в даній системі координат, то, як відомо,

(I) рівняння визначає еліпс;

(II) рівняння - крапку;

(III) рівняння - порожня множина крапок (мнімий еліпс);

(IV) рівняння - гіперболу;

(V) рівняння _ пари пересічних прямих;

(VI) рівняння (), - параболу;

(VII) рівняння () - пари паралельних прямих;

(VIII) рівняння ( ) - пари прямих, що злилися;

(IX) рівняння (), - порожня множина крапок.

Рівняння (Г) - (IX) називаються канонічними рівняннями фігур другого порядку на площині.

Рівняння (I) - (III) визначають фігуру еліптичного типу, рівняння (IV), (V) - гіперболічного типу, рівняння (VI) - (IX) - параболічного типу.

Розглянемо рівняння другого порядку

, (1.9)

де . Множина крапок площини, координати яких задовольняють рівнянню (1.9), утворить деяку фігуру. Покажемо, що це рівняння визначає одну з фігур (I) - (IX). Для цього знайдемо рівняння фігури (1.9) у системі координат(), де вектори й отримані з векторів й ортогональним перетворенням з матрицею переходу Т

тобто

.

При цьому формули перетворення координат крапок будуть мати вигляд

.

Підставивши ці значення х і у в рівняння (1.9), одержимо рівняння даної фігури в системі координат ().

Сума перших трьох членів