Предел функции

Определение пределов функции с помощью Mathcad. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Построение ее графика в окрестности указанной точки. Вычисление производных функции по определению в произвольной или фиксированной точке.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЛОВСКАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ» В Г. ЛИПЕЦКЕ

КАФЕДРА ГУМАНИТАРНЫХ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

ОТЧЕТ

О ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №7

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

Вариант 12

Выполнила студентка гр. Ф-10-1

Заратуйко В.В.

Липецк - 2011

Задача 1. Вычислить пределы

Число называется пределом функции при , если для любого найдется также число , зависящее от , что для всех таких, что , будет верно неравенство

Вычисление пределов функции или последовательностей - одна из важнейших задач математического анализа.

Чтобы найти предел с помощью Mathcad следует обратиться к панели Вычисления. Данная панель содержит три вида операторов предела: предел в точке или двусторонний предел (вводится также сочетанием клавиш Ctrl+L), левосторонний предел (Ctrl+Shift+B), правосторонний предел (Ctrl+Shift+A).

В качестве оператора вывода при вычислении пределов можно использовать только оператор символьного вывода «>». Если же ввести оператор численного вывода «=», то будет выдано сообщение об ошибке.

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Символьные вычисления -- это преобразования и работа с математическими равенствами и формулами, как с последовательностью символов. Они отличаются от численных расчётов, которые оперируют приближёнными численными значениями, стоящими за математическими выражениями.

1. Нажал [Ctrl]L, чтобы вызвать оператор нахождения предела (рис. 1).

Рисунок 1. Оператор нахождения предела

2. Ввел выражение в поле ввода справа от lim.

3. Ввел переменную, по которой вычисляется предел, в левое поле ввода ниже lim.

4. Ввел значение предела в правое поле ввода ниже lim.

5. Ввел оператор символьного ввода после выражения (рис.2).

Рисунок 2. Вычисление предела

6. Аналогичным образом нашел остальные пределы (рис.3)

Рисунок 3. Пределы

Задача 2. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Схематично построить график функции в окрестности указанной точки

Если левосторонний и правосторонний пределы для данной точки будут иметь разные значения, то предела в этой точке не будет. Если попытаться его вычислить, то в качестве ответа будет выдано слово undefined (Неопределён).

1. Попытался вычислить предел функции (рис. 4).

Рисунок 4. Предел неопределён

2. Нашел левосторонний (Ctrl+Shift+B) и правосторонний (Ctrl+Shift+A) пределы (рис. 5).

Рисунок 5. Левосторонний и правосторонний пределы

Доказательством того, что предела не существует, является то, что левосторонний и правосторонний пределы имеют разные значения.

3. Построил график функции (рис.6). Щелкнул по свободному месту в рабочем документе ниже введенной функции, затем - по кнопке с изображением графика в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкнул по левой верхней кнопке. Появилось поле для построения графика в прямоугольной системе координат, для зависимости f(x).

В нижнюю помеченную позицию в средней метке под осью Х ввела с клавиатуры имя аргумента х, первую переменную, затем щелкнула по помеченной позиции с левой стороны в средней метке слева от оси Y, ввел с клавиатуры функцию и щелкнуть вне прямоугольной рамки. Щелкнул по полю графика, затем - по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажал <Backspace> и ввел с клавиатуры 1. Аналогично изменил правую границу аргумента и границы изменения функции f(x). Щелкнул вне поля графика.

Рисунок 6. График

Задача 3. Вычислить производные функции по определению в произвольной точке х и в какой-нибудь фиксированной точке

Производная - это конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю.

Вычислить производную можно по формуле:

.

По определению производная находится как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда это приращение стремится к 0.

Используя определение производной, вычислил производные функций в произвольной точке х (рис. 7).

Рисунок 7. Производные в точке x

Используя определение производной, вычислил производные функций в фиксированной точке, для этого присвоила переменной х значение (рис. 8).

функция предел производная



Рисунок 8. Производная в фиксированной точке

Размещено на Allbest.ru