Практичне застосування методів фінансової математики

Фінансова математика на кредитно-депозитному банківському та страховому ринку. Аналіз практичного застосування методів фінансової математики на фінансових ринках України. Умови вкладів з щомісячним нарахуванням відсотків. Рівні показників інфляції.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Практичне застосування методів фінансової математики

1. Теоретичні основи методів фінансової математики для аналізу операцій на фінансових ринках України

1.1 Фінансова математика на кредитно-депозитному банківському ринку

Фінансова математика вивчає методи розв'язування задач, що виникають при плануванні і здійсненні фінансових операцій. До таких задач належать: нарахування відсотків, оцінка кінцевих фінансових результатів операції для її учасників, розробка планів ведення операцій, беззбиткова зміна умов угод, аналіз інвестицій, аналіз кредитних операцій і інші [28].

Теоретичною основою фінансової математики є методи нарахування простих і складних відсотків, схема фінансової ренти або ануїтету, принципи часової вартості грошей і принципи фінансової еквівалентності.

Згідно з принципом часової вартості грошей сучасні гроші мають більшу ціну, ніж гроші майбутні, тобто одна грошова одиниця сьогодні має більшу вартість, ніж одна грошова одиниця завтра.

Основними причинами знецінення грошей є: інфляція, ризик, схильність до неліквідності [7].

Фактор часу у фінансових розрахунках вираховується за допомогою відсоткових (або процентних) ставок, які дозволяють для кожної теперішньої грошової суми знайти їй еквівалентну величину у майбутньому.

Основні поняття [8]:

1. Відсоткові гроші (відсотки) - це абсолютна величина прибутку (доходу) від позичання грошей. При цьому форми позичання можуть бути різними: купівля облігацій, продаж у кредит, видача позики. Відсотки вимірюються у грошових одиницях.

2. Відсоткова ставка (відсотки) це відношення відсоткових грошей, отриманих за певний проміжок часу, до суми боргу. Відсоткова ставка вимірюється у коефіцієнтному вигляді або у відсотках (1%=0,01). У фінансових розрахунках відсоткові ставки подаються у коефіцієнтному вигляді.

3. Інтервали часу, з якими пов'язують відсоткові ставки, називають періодами нарахування. Періодами нарахування можуть бути: рік, півріччя, квартал, місяць, день. У цьому випадку говорять про дискретні відсотки.

Якщо нарахування відсотків здійснюється за дуже малі проміжки часу, то говорять про неперервні відсотки. На практиці вдалим наближенням до неперервних відсотків є відсотки з щоденним нарахуванням.

4. Відсоткові гроші можуть сплачуватися кредитору при їх нарахуванні в кожному періоді, або приєднуватися до основної суми боргу при закінченні угоди. В останньому випадку говорять про нарощену суму, яка дорівнює початковій сумі боргу з відсотками, що на неї нараховані. Процес збільшення суми боргу з приєднанням до неї відсотків називається капіталізацією суми боргу.

5. Враховуючи часову вартість грошей, нарощена сума еквівалентна (при даній відсотковій ставці) початковій сумі боргу. В залежності від того, яку суму боргу беруть за висхідну при нарахуванні відсотків (за базу нарахування), розрізняють декурсивні і антисипативні відсотки.

Декурсивні відсотки нараховуються на початкову суму боргу (за базу нарахування береться початковий борг). При нарахуванні антисипативних відсотків за базу нарахування враховують суму боргу у майбутньому.

Антисипативні відсотки використовують у банківському обліку (обліку векселів).

6. Розрізняють також прості та складні відсотки.

Якщо сума, до якої застосовується відсоткова ставка одна і та ж (стала база нарахувань), то нарахування здійснюється за простими відсотками і відсоткова ставка називається простою. Якщо відсотки за попередній період приєднуються до суми боргу і на отриману суму знову нараховуються відсотки, то говорять про складні відсотки. Відсоткова ставка в цьому випадку називається складною.

Основні алгоритми нарощення за простими відсотковими ставками [32]:

P - сума грошей (капітал), що даються в борг;

Власник капіталу (кредитор) отримує відсоткові гроші І як доход;

і - відсоткова ставка віднесена до якогось періоду (рік, півріччя, квартал, місяць, день);

n - термін угоди, виражений у періодах, зазвичай за період - це рік. В подальшому вважаємо, що і - річна відсоткова ставка, n - термін угоди в роках;

Відсоткові гроші за n років на постійну суму Р за простою відсотковою ставкою розраховуються за формулою:

І = n* Р* і (1.1)

Тому нарощена сума S за простими відсотками (сума боргу на момент закінчення угоди через n років) дорівнює

S = P + n P i = P (1 + n* i) (1.2)

Множник (1+n*i) називають множником нарощення за простою відсотковою ставкою. Він показує у скільки разів нарощена сума більше початкової суми боргу.

У формулі (1.2) за базу нарахування береться початкова сума боргу Р, а відсотки, що нараховані за ставкою і згідно (1.2), називаються декурсивними.

Якщо термін угоди n менше чи більше цілого числа років, то його представляють у вигляді дробового числа як:

(1.3)

де t - кількість днів позики;

К - взята для розрахунку кількість днів у році (360/365/366);

К - називається часовою базою року.

Тобі формула (1.2) при заданій річній ставці простих відсотків i набуває вигляду

(1.4)

У фінансових угодах відсоткові ставки можуть встановлюватись окремими для різних часових періодів нарахування m.

Тоді нарощену суму S при простих відсотках знаходимо за формулою

(1.6)

де - індивідуальна проста відсоткова ставка для окремого часового періоду (.

Нарахування складних річних відсотків використовуються тоді, коли відсотки одразу після нарахування не сплачуються, а приєднуються до суми боргу. База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним кроком у часі. Нарощення за складними відсотками є послідовне реінвестування коштів, які вкладені на один період під простий відсоток.

Капіталізація відсотків - це приєднання відсотків до суми, яка є базою для нарахування в наступному періоді. При застосуванні складних відсотків відбувається їх капіталізація [33].

В практичних питаннях застосовують дискретні складні відсотки. У теоретичних питаннях фінансового аналізу мають місце і неперервні відсотки. Формула нарощення за складними відсотками має вигляд:

 (1.7)

де - тривалість періодів нарощення реінвестованої суми депозиту;

- відсоткові ставки в кожному з періодів нарощення.

Якщо періоди та ставки однакові, то формула (1.7) перетворюється до наступного вигляду - формули нарощення за складними відсотками:

(1.8)

Вираз зветься множником нарощення за складними відсотками.

Якщо використовуються змінні з часом ставки, то нарощення за складними відсотками відбувається за формулою:

(1.9)

При нарахуванні складних відсотків кілька раз на рік, формула нарощення перетворюється в:

(1.10)

де n - тривалість угоди в роках;

N=m*n - загальна кількість періодів нарахування та капіталізації складних відсотків.

Річний множник нарощення за номінальною річною ставкою j дорівнює:

 (1.11)

При збільшенні m темп нарахувань зростає, тому що капіталізація відбувається частіше. У зв'язку з цим вводять поняття ефективної відсоткової ставки при складному нарахуванні відсотків , яка обраховується за еквівалентним рівнянням - проста еквівалентна річна ставка дорівнює складній ставці відсотків, нараховуємій кілька раз на рік:

(1.12)

(1.13)

Процедура з простими та складними відсотками, обратна нарощенню, називається дисконтуванням [47]. Оскільки гроші втрачають вартість з часом, то дисконт D завжди додатний. Крім того, оскільки час у фінансових угодах враховується відсотками, то дисконт дорівнює відсоткам, нарахованим на суму Р:

(1.14)

Застосовують два види дисконтування: математичне дисконтування та дисконтування в банківському обліку.

Математичне дисконтування розраховується при операції відшукання теперішньої суми боргу Р за відомою кінцевою сумою S момент часу кінця позики n. Тоді при застосуванні простої відсоткової ставки i:

та, відповідно, дисконт (1.15)

Множник зветься дисконтним множником простих відсотків при математичному дисконтуванні.

При операціях банківського обліку (облік векселів) передбачає відшукання теперішньої суми вартості фінансового інструмента Р (боргу за векселем), якщо відома вартість векселя по номіналу S, яка буде сплачена у майбутньому.

Тоді проста облікова ставка d дисконтування майбутньої суми векселя S до теперішньої вартості векселя Р розраховується як:

(1.16)

яка відрізняється від простої ставки нарощення базою знаменника, відповідно дисконтні відсотки є дисипативними.

Іноді треба вирішувати обернені задачі знаходженні i, n, d за відомими S та P при нарощенні та дисконтуванні за простою відсотковою ставкою.

а) про пошуку терміну угоди в цілих роках:

при нарощенні при дисконтуванні (1.17)

...