Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Введение

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от маленького ребенка, играющего с кубиками, до взрослого человека.

Некоторые многогранники встречаются в природе, как в неживой так и в живой.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Тема данной курсовой работы - «Правильные и полуправильные многогранники. Теорема Эйлера - Декарта».

Цель курсовой работы - рассмотреть различные виды правильных и полуправильных многогранников, изучить их основные свойства.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

· изучить, систематизировать и проанализировать литературу по данной тематике;

· дать понятие многогранников, рассмотреть многогранные поверхности, многогранники, топологические и правильные многогранники.

· оформить изученный материал в виде пояснительной записки.

1. Понятие многогранников

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники (рис. 1). Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

Алмаз (октаэдр)	Шеелит (пирамида)	Хрусталь (призма)	Поваренная соль (куб)

Рисунок 1 Примеры естественных многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

§ Вселенная - додекаэдр

§ Земля - куб

§ Огонь - тетраэдр

§ Вода - икосаэдр

§ Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

2. Многогранные поверхности. Многогранники

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной. На рисунке 2 изображены некоторые виды многогранных поверхностей.

Рисунок 2 Примеры многогранных поверхностей:

а) незамкнутая пирамидальная, б) замкнутая пирамидальная, в) незамкнутая призматическая, г) замкнутая призматическая

Их элементами являются грани, ребра и вершины. Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами.

Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (рис. 2 б, г), в противном случае - незамкнутой (рис. 2 а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке - вершине (рис. 2 а, б). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рис. 2 в, г).

Многогранную поверхность можно так же определить, основываясь на понятии многоугольника.

Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.

От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам. Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины - вершинами многогранной поверхности.

Рисунок 3 Примеры многогранных поверхностей

Рисунок 4 Примеры поверхностей не являющихся многогранными

Многогранная поверхность делит пространство на две части - внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.

Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Рисунок 5 Пирамида

Многогранник обычно обозначается перечислением его вершин и указанием его специальных свойств. Например, многогранник SABCD, изображенный на рисунке 5, - пирамида.

Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы (рис. 6).



Рисунок 6 Простейшие многогранники: а) пирамида, б) призма

Количество проекций многогранника должно быть таким, чтобы обеспечивалась обратимость чертежа. Чертеж называется обратимым, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить ее вторую проекцию. На рисунке 6 а) выполнен обратимый чертеж пирамиды SABC(S1A1В1С1, S2A2B2C2).

В общем с...