Понятие многомерной случайной величины

Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, их суммы. Функция от случайных величин, ее математическое ожидание. Коэффициент корреляции, виды сходимости последовательности случайных величин.
Краткое сожержание материала:

Понятие многомерной случайной величины

Основные вопросы лекции: математическое ожидание случайной величины, свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, дисперсия суммы случайных величин, функция от случайных величин, математическое ожидание функций от случайных величин, коэффициент корреляции, моменты, корреляционный момент, виды сходимости последовательности случайных величин, неравенства Чебышева, график функции распределения для непрерывной случайной величины, различные формы закона больших чисел, теорема Чебышева, теорема Бернулли, теорема Маркова, центральная предельная теорема теории вероятностей, применение центральнойпредельной теоремы, обоснование роли нормального закона распределения, вывод приближенной формулы Лапласа.

Гипергеометрическое распределение

Выше мы рассмотрели способы вычисления вероятностей появления события ровно т раз в n независимых повторных испытаниях (по формулам Бернулли и Пуассона). Теперь познакомимся с вычислением вероятности появления события ровно т раз в n зависимых повторных испытаниях. Случайная величина, определяющая число успехов в n повторных зависимых испытаниях, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Пример. В урне N шаров, среди которых К белых и (N-K) черных. Без возвращения извлечены n шаров. Определим вероятность того, что в выборке из n шаров окажется т белых (и соответственно n-m черных) шаров. Изобразим ситуацию на схеме:

Случайная величина, интересующая нас, X = т - число белых шаров в выборке объемом в n шаров. Число всех возможных случаев отбора n шаров из N равно числу сочетаний из N по n (C_Nⁿ), а число случаев отбора т белых шаров из имеющихся К белых шаров (и значит, n-m черных шаров из N-K имеющихся черных) равно произведению C_K^mC_N-K^n-m (отбор каждого из т белых шаров может сочетаться с отбором любого из n-т черных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n шаров окажется ровно т белых шаров. По формуле для вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке т белых шаров (т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение т) равна

, (1)

где C_Nⁿ - общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, C_K^mC_N-K^n-m - число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Итак, вероятность появления интересующего нас события ровно т раз в n зависимых испытаниях вычисляется по формуле (1), которая задает значения гипергеометрического закона распределения для т = 0, 1, 2,…, n (табл. 1).

Таблица 1. Гипергеометрический закон распределения

т	0	1	2	…	n
Р (X=m)	CK0CN-k n/ CNn	CK1CN-Kn-1/ CNn	CK2CN-Kn-2/ CNn	…	CKmCN-K0/ CNn

M(т) = n, (2)

D(m) = n (1-) [1 - (n-1)/(N-1)], (3)

где - доля единиц с интересующим нас признаком в совокупности N, т.е. = K/N, а 1 - (n-1)/(N-1) называется поправкой для бесповторной выборки.

Производящая функция

Выше были рассмотрены способы определения вероятности Р_n,mдля случаев, когда вероятность события А во всех n независимых испытаниях одна и та же. На практике приходится встречаться и с такими случаями, когда вероятность наступления события А от испытания к испытанию меняется.

Мультиномиальное распределение

Напомним, что в биномиальном эксперименте мы классифицируем исходы как успехи и неуспехи. Если обобщить ситуацию, то исходы можно классифицировать более чем по двум категориям. Предположим, есть k категорий исходов: «покупка товара А», «покупка товара В», «покупка товара К». Обозначим Х₁ - число проданных единиц товара A, Х₂ - число проданных единиц товара В,…., Х_k - число проданных единиц товара К. Вероятностное распределение Х₁, Х₂,…, Х_k в выборке объемом n есть мультиномиальное распределение с параметрами n и вероятностями р₁, р₂,…, р_k, где р_i - вероятность появления категории i (р_i= 1 - q_i), и они остаются неизменными от испытания к испытанию и испытания независимы.

Формула мультиноминального распределения имеет следующий вид:

P(Х₁, Х₂., Х_k) = n!/(Х₁! Х₂!…•Х_k!)•р₁^x1•р₂^x2 ·…•р_k^xk. (4)

Геометрическое распределение

Рассмотрим биномиальный эксперимент с обычными условиями. Пусть вместо вычисления числа успехов в независимых испытаниях случайная величина определяет число испытаний до первого успеха. Такая случайная величина распределена по закону геометрического распределения. Вероятности геометрического распределения вычисляются по формуле

P(m) = pq^m-¹, (5)

где т = 1, 2, 3,…; p и q - биномиальные параметры. Математическое ожидание геометрического распределения

M(m)= 1/p, (6)

а дисперсия ?² = D(m) = q/p². (7)

Например, число деталей, которые мы должны отобрать дотого, как найдем первую дефектную деталь, есть случайная величина, распределенная по геометрическому закону. В чем здесь смысл математического ожидания? Если доля дефектных деталей равна 0, 1, то вполне логично, что в среднем мы будем иметь выборки, состоящие из 10 деталей до тех пор, пока не встретим дефектную деталь.

Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на числовом интервале.

Примеры непрерывных случайных величин: возраст студентов, длина ступни ноги человека, масса детали и т.д. Это положение относится ко всем случайным величинам, измеряемым на непрерывной шкале, таким как меры веса, длины, времени, температуры, расстояния. Измерение может быть проведено с точностью до какого-нибудь десятичного знака, но случайная величина - теоретически непрерывная величина. В экономическом анализе находят широкое применение относительные величины, различные индексы экономического состояния, которые также вычисляются с определенной точностью, скажем, до двух знаков после запятой, хотя теоретически их значения - непрерывные случайные величины.

У непрерывной случайной величины возможные значения заполняют некоторый интервал (или сегмент) с конечными или бесконечными границами.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно задать в виде интегральной функции распределения, являющейся наиболее общей формой задания закона распределения случайной величины, а также в виде дифференциальной функции (плотностираспределения вероятностей), которая используется для описания распределения вероятностей только непрерывной случайной величины.

Функция распределения (или интегральная функция) F(x) - универсальная форма задания закона распределения случайной величины. Для непрерывной случайной величины функция распределения также определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е.

F(x) = F (X<x). (8)

При изменении х меняются вероятности Р (Х <x) = F(x). Поэтому F(x) и рассматривают как функцию переменной величины. Принято считать, что случайная величина X известна, если известна ее функция распределения F(x).

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1, т.е. 0 ? F(x) ? 1.

Функция распределения есть неубывающая функция, т.е. F(x₂)? F(x₁), если х₂> х₁. Тогда P(x₁ ? Х <х₂) = P (Х <х₂) - P (Х <х₁) = F(x₂) -
- F(x₁).

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то P(x₁ ? Х <х₂) 0, а следовательно, F(x₂) - F(x₁) ? 0и F(x₂) ? F(x₁).

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (?, ?), равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е.

P (? ?...