Полунормальные подгруппы конечной группы

Характеристика и основополагающие свойства силовых подгрупп конечных групп, определение и доказательство соответствующих лемм. Понятие и свойства супердобавлений. Строение группы с максимальной и силовской подгруппой, обладающей супердобавлением.
Краткое сожержание материала:

Дипломная работа

"Полунормальные подгруппы конечной группы"

Содержание

Введение

1 Силовские подгруппы конечных групп

2 Полунормальные подгруппы

2.1 Свойства супердобавлений

2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам

2.3 Супердобавления к силовским подгруппам

3 Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3.1 Силовские множества и их свойства

3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых

групп

Заключение

Список использованных источников

Введение

В теории конечных групп видное место занимают результаты, связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе в группе понимается такая подгруппа , что , но для любой собственной подгруппы из . Очевидно, что любая подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что дополнение является частным случаем минимального добавления.

Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников: «Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами». К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались -дополняемость, -плотность подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др.

Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.

Квазинормальной называют подгруппу группы , которая перестановочна со всеми подгруппами группы . Ясно, что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.

Минимальное добавление к квазинормальной подгруппе группы обладает следующим свойством: если - подгруппа из , то - подгруппа группы . Это наблюдение позволяет ввести следующее определение: минимальное добавление к подгруппе группы назовём супердобавлением, если является подгруппой для любой подгруппы из . Ясно, что нормальные и квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе силовская -подгруппа обладает супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.

Всякую факторизуемую группу можно рассматривать как группу с подгруппой и её добавлением , и как группу с подгруппой и её добавлением . Известно, что группа с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и не всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и :

- подгруппы и имеют взаимно простые индексы;

- группа имеет нильпотентный коммутант;

- подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из , а подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.

В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.

1. Силовские подгруппы конечных групп

По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число делит порядок конечной группы , то в группе может и не быть подгруппы порядка .

Пример 1.1 Знакопеременная группа порядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.

Допустим противное, пусть - подгруппа порядка 6 в группе . Тогда и . Группа содержит подгруппы

Если , то и , противоречие. Поэтому , а т. к. , то . Противоречие. Поэтому допущение не верно и группа не содержит подгруппу порядка 6.

Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей порядка конечной группы имеется подгруппа порядка .

Положительный ответ на этот вопросв случае, когда - степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.

Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы делится на простое число , то в группе существует элемент порядка .

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа порядка , простое число делит , то в группе существует элемент порядка . Пусть .

Если делит для некоторого , то - элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группы имеют порядки, не делящиеся на .

не делится на .

Так как группа абелева, то - подгруппа, и к произведению можно применить следующее

не делится на .

Затем обозначаем через и опять получаем, что не делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, что не делится на . Но

и , т.е. получаем, что не делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.

Пусть - простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Теорема 1.3 . Пусть конечная группа имеет порядок , где - простое число и не делит . Тогда спарведливы следующие утверждения:

в группе существует подгруппа порядка для каждого ;

если - -подгруппа группы и - подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

любые две подгруппы порядка сопряжены в группе ;

число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .

Доказательство. Доказательство проведём индукцией по . По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Порядок центра делится на .

Так как - абелева группа, то к применима лемма 1.2. По этой лемме в есть элемент порядка . Так как - нормальная подгруппа группы порядка , то факторгруппа имеет порядок и по индукции в группе имеется подгруппа порядка для каждого . По теореме о соответствии в группе имеется подгруппа такая, что и . Теперь , где . Итак, в группе порядков соответственно.

Случай 2. Порядок центра группы не делится на .

Рассмотрим разложение группы в объдинение различных классов сопряжённых элементов

где

- класс сопряжённых с элементов. Различные классы сопряжённых элементов имеют пустое пересечение, а число элементов в классе равно индексу централизатора . Пусть

Централизатор каждого элемента из центра совпадает с группой . И обратно, если централизатор некоторого элемента совпадает с группой, то элемент попадает в центр . Поэтому из <1> получаем

где для каждого . Если все числа делятся на , то из <2> следует, что делится на , что противоречит рассматриваемому случаю. Итак, существует , где такое, что не делит . Поскольку то

где - целое число и не делит . Теперь к группе применима индукция. По индукции в группе существует подгруппа порядка для каждого Эта подгруппа будет искомой для группы .

Рассмотрим разложение группы на двойные смежные классы по подгруппам и :

Зададим отображение

переводящее элементы двойного смежного класса в элементы произведения подгрупп и . Легко проверить, что отоюражение взаимно однозначно, поэтому, получаем

где Так как есть подгруппа в , то по теореме Лагранжа делит и - целое число. Из <3> теперь получаем:

Сокращая обе части на получим:

Так как взаимно просто с , а - це...