Полиномы Чебышёва второго рода

Рекурсивное, тригонометрическое определение и свойства многочленов Чебышёва. Сущность теоремы Е.И. Золотарёва-А.Н. Коркина. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей. Обобщение метода Грамма-Шарлье.
Краткое сожержание материала:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра теории вероятности и экономической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Полиномы Чебышёва второго рода

Исполнитель:

студент группы М-31

Желнов Алексей Олегович

Научный руководитель:

Старовойтов Александр Павлович

Гомель 2009

Содержание

Введение

1 Рекурсивное определение

2 Явные формулы

3 Тригонометрическое определение

4 Теорема (Е.И. Золотарёва- А.Н. Коркина)

5 Фильтр Чебышёва II рода

6 Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

Cписок использованных источников

Введение

Многочлемны Чебышёва -- две последовательности многочленов и , названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

T1, T2, T3, T4, T5

Многочлен Чебышёва первого рода Tn(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n - 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ ? 1,1].

U1, U2, U3, U4, U5

Многочлен Чебышёва второго рода Un(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n, интеграл от абсолютной величины которого по интервалу [ ? 1,1] принимает наименьшее возможное значение.

1. Рекурсивное определение

Многочлены Чебышёва первого рода Tn(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышёва второго рода Un(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

2. Явные формулы

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

Tn(x)2 ? (x2 ? 1)Un ? 1(x)2 = 1

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:



3. Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода Tn(x) могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

Tn(z) = cos(narccosz)

Многочлены Чебышёва второго рода Un(x) могут быть также определены с помощью равенства:

Примеры. Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

Свойства. Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

· Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).

· Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ ? 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:

o наибольший старший коэффициент

o наибольшее значение в любой точке

· Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

Полиномами Чебышева второго рода называются полиномы образующие на ортогональную систему веса Сейчас мы остановимся на них более подробно.

Лемма 1. Справедливо тождество



Лемма доказывается индуктивно на основании формулы

И того факта, что

Следствие. Если то функция (*) есть полином степени n со старшим коэффициентом

Лемма 2. Полиномы образуют на ортогональную систему веса .

В самом деле, интеграл

Подстановкой сводится к интегралу

Таким образом для полиномов получается формула

(**)

Замечание. Формула (**) можно вывести из самого определения полинома . Именно, всякого полинома R(x)степени ниже n будет

Полагая здесь находим

Так как есть тригонометрический полином порядка n+2, то

Подставляя это предшествующий интеграл и беря в качестве функцию , где m<n, находим

Отсюда следует, что Таким образом

Положим здесь и=0 и и=р . Это даёт условия на коэффициенты A:

Отсюда и Значит, что снова приводит к формуле (**).

Чтобы получить полином , со старшим коэффициентом 1, надо положить Ввиду того что

ясно, что нормированные полиномы получаются при

Рекуррентная формула для получается проще

откуда

. (*3)

Так как

Чтобы написать непрерывную дробь, связанную с полиномами , отметим, что для них

Кроме того .

Так как при x>1

То

Отметим ещё, что корни полинома суть

Отсюда легко получить, что предельная плотность распределения этих корней при n, стремящемся к бесконечности, такая же , как у полиномов то есть равная

Впрочем, это ясно и из того обстоятельства, что полином является производной полинома Действительно,

Переходя к вопросам разложения по полиномам , отметим что

4. Теорема (Е.И. Золотарёва- А.Н. Коркина)

Из всех полиномов степени n со старшими коэффициентом, равным единице, наименьшее значение интегралу

Доставляет полином . Для доказательства выше упомянутой теоремы безусловно потребуются предварительные соображения.

Лемма 1. Пусть n-натуральное число, а m-одно из чисел 0,1,2,… ,n. Тогда

Действительно,

Если числа n и m разной чётности, то

Если же n и m одно чётности, то левая часть (*6), если число чисто мнимое, ибо



Лемма доказана.

Лемма 2. Если n-натуральное число, а r -одно из чисел 0,1,…,n-1, то

В самом деле, если , то .

Отсюда

И, стало быть,

Но

Значит, дело сводится к доказательству равенства

Которое можно привести к виду

Или

Это же последнее равенство равносильно (*5).

Следствие. Если n -натуральное число, а r -одно из чисел 0,1,2,…,n-1, то

Лемма 3. Справедливо равенство

Но последний интеграл равен

Замечая, что



И учитывая (*6), сводим лемму к очевидному равенству

Возвращаясь к теореме Золотарёва-Коркина, обозначим через произвольный полином степени n со старшим коэффициентом, равным единице. В силу (*7) и (*8) имеем

Отсюда

С другой стороны, при мы имеем здесь точное равенство. Таким образом интеграл (*4)действительно минимизируется полиномом . Остаётся показать, что нет других решений проблемы. Но если бы оказалось, что

То отсюда следовало бы, что

Где Значит, необходимо то есть полиномы имеют одинаковые знаки. Так как меняет знак при переходе через каждый свой корень, то то же должно иметь место и для . Иначе говоря, имеют общие корни, а так как и старшие коэффициенты у них одинаковы, то эти два полинома должны быть тождественны.

Теорема Золотарёва-Коркина была неоднократно обобщаема в различных направлениях, но мы ограничимся сказанным.

5. Фильтр Чебышёва II рода

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с щ0 = 1 и

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза щ0. Параметр связан с затуханием в полосе подавления г в децибелах следующим выражением:

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ; для затухания в 10 дБ: . Частота fC = щC / (2р) является частотой среза. Час...