Теоретический курс математики и подробные указания его применения. Информация и задания по основным темам, рассчитанные на изучение математики в 10-11 классах на повышенном уровне, подготовка к различным видам тестирования и другим конкурсным испытаниям.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Повторим математику быстро

10-11 классы

О.Н. Пирютко

Оглавление

• Предисловие
• Тема 1. Тригонометрические функции
• Тема 2. Основные тригонометрические тождества
• Тема 3. Tригонометрические уравнения
• Тема 4. Производная
• Тема 5. Применение производной к решению задач
• Тема 6. Первообразная и интеграл
• Тема 7. Корень n-ой степени из числа
• Тема 8. Степень с рациональным показателем
• Тема 9. Показательная функция
• Тема10. Свойства логарифмов и логарифмическая функция
• Ответы к контрольным тестам
• Тема 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них
• Тема 2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве
• Тема 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
• Тема 4. Углы между прямыми и плоскостями
• Тема 5. Многогранные углы
• Тема 6. Многогранники. Призма
• Тема 7. Параллелепипед
• Тема 8. Пирамида
• Тема 9. Цилиндр
• Тема 10. Конус
• Тема 11. Шар
• Ответы
• Дополнительные сведения



Предисловие

Книга написана для тех, кто самостоятельно хочет повторить школьную математику за 10-й - 11-й классы.

Как нужно работать с книгой?

В книге 20 тем, содержащих весь программный курс математики 10-11 классов школы. По каждой из тем попробуйте сначала написать тест, он называется “проверочным”, затем проверьте ответы (они написаны под тестом в перевёрнутом виде). Если вы не можете выполнить задание или сделали в нём ошибку, в следующем разделе (“Улучшите свои знания”) под тем же номером, что и задание, вы найдёте правило и (самое главное!) алгоритм его применения с подробными примерами. Вам станет ясно, в чём же была проблема. Далее проверьте себя по разделу “Наиболее часто встречающиеся ошибки” и, наконец, выполните контрольный тест, а ответы сверьте с приведёнными в конце книги.

Эта книга также будет полезна учащимся 10-11 классов как справочник- - помощник, т.к. содержит основной теоретический курс математики и подробные указания его применения.

В предлагаемых основных материалах нет сложных заданий, рассчитанных на изучение математики на повышенном уровне, но она может быть первым этапом в подготовке к различным видам тестирования и другим конкурсным испытаниям.

В дополнительных материалах содержится информация, которой нужно владеть для выполнения заданий повышенного уровня. Приводится тест по всему курсу математики 10-11 классов. Задания, отмеченные * повышенной сложности.

Автор

Алгебра и начала анализа

Тема 1 Тригонометрические функции

Проверочный тест

1. Найдите:

а) область определения функций,

б) множество значений функций:

-3sinx; tgx+5; cos2x.

2. Определите период функций:

а) sin2x; б) cos 0,5x; в) tg7x.

3. Выясните, какие из функций являются четными, какие - нечетными, а какие - ни четными, ни нечетными:

а) tg2x; б) sinx•cos 3x; в)?cosx; г)sinx+cosx.

4. Определите знак произведения:

а) sin50° · cos60° · sin 188° · cos 189° ;

б) tg2 · sin4.

5. Что больше: а)sin 37° или sin 67°; б)cos 54° или cos45°; в)tg59° или tg13°?

6. Постройте графики функций:

а)sin2x; б)cos х/2; б) tg јx.

Ответы:

1. а) х - любое число; х ? р/2 +рk , k - целое число; х - любое число.

б) [-3; 3]; (-?; +?); [-1; 1] .

2. а)р/2; б)2р; в)2р/7.

3. в)четная функция; а),б) - нечетные функции, г) не является ни четной функцией, ни нечетной.

4. а)“плюс”; б)“минус”.

5. а)sin 67° > sin 37°; б)cos45° >cos 54°;в) tg59° >tg13°.

Улучшите свои знания

1.a)Область определения(D) тригонометрических функций:

D(sin x) = (-?; +?); D(cosx) = (- ?; +?); D(tgx) : х ? р/2 +рk,

k - целое число.

Примеры

Найдите область определения функций:

1. 2sin5x; 2. -cos4x; 3. tg3x.

Решение.

Так как область определения функции y = sint - все действительные числа, т. е. t (-?; +?),то 5x тоже принадлежит этому промежутку, 5x(-?; +?), значит, х (-?; +?). D(2sin5x) = (-?; +?).

1. Так как область определения функции y = cost - все действительные числа, т. е. t (-?; +?),то 4x тоже принадлежит этому промежутку,

4x (-?;+?), значит, х (-?; +?). D(-cos4x) = (- ? ; +?).

Так как область определения функции y = tgt все действительные числа, кроме t = р/2 +рk, где k - целое число, то 3х ? р/2 + рk , k - целое число, т.е. х ? р/6+рk/3, k - целое число. D(tg3x) : х ? р/6 +рk/3 , k - целое число.

b) Множество значений (E) тригонометрических функций:

E(sinx) = [-1; 1] ; E(cosx) = [-1; 1] ; E (tgx) = (-?; +?).

Примеры

Найдите множество значений функций:

1. 2sin5x; 2.-cos4x; 3. tg3x.

Решение.

1. Так как множество значений функции sint - отрезок [-1; 1], то

-1 ?sin5x?1, т.е. -2?2sin5x?2, значит, Е(2sin5x) =[-2;2]

2. Так как множество значений функции cost - отрезок [-1; 1], то

-1 ?сos4x ?1, т.е. -1 ? -сos4x ?1, значит, Е (-cos4x) =[-1;1]

3. Так как множество значений функции tg t - вся числовая прямая: (-?;+?), то и Е (tg 3x) = (-?; +?).

2. Функция f(x) называется периодической с периодом Т (Т?0) , если для любого х из области определения функции х ± Т тоже принадлежит области определения функции, и f(х ± Т) = f(x).

Свойства:

1. Если Т - период функции f(x), то kT - тоже период f(x), где k - произвольное целое число.

2. Если Т - период функции f(x), то период функции f(mx) (m - некоторое действительное число, не равное нулю) равен Т/m.

Период функций sinx и cosx равен 2р, период функции tgx равен р.

Примеры

Определите период функции: 1. sin2x; 2. tg7x.

Решение.

1. Так как период функции sinx равен 2р, то период функции sin2x равен 2р/2=р.

2. Так как период функции tgx равен р, то период функции tg7x равен р/7.

3. Функция f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции f(x) -x также принадлежит области определения и

f(x) = f(-x).

Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции f(x), - x также принадлежит области определения и

f(-x) = - f(x).

Примеры

Установите четность или нечетность функции:

1. y= xІ-|x|; 2.y =xі - x; 3. y = 3vx+5; 4.y = x - xІ.

Решение.

1. Область определения данной функции - все действительные числа,

f(-x)= (-x)І-|-x| = xІ- |x| = f(x)

значит, функция y= xІ-|x| четная

2. Область определения данной функции - все действительные числа,

f(-x) = (-x)і -(- x) = - xі + x =-( xі - x) = - f(x)

3. Область определения данной функции - все неотрицательные действительные числа. Значит, если x D(3vx+5), тo - x D(3vx+5), т.е.данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Область определения данной функции - все действительные числа, f(-x)= -x- (-x)І =-x -xІ =-(x+xІ) ? - f(x) ? f(x), значит, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Функции sinx и tgx являются нечетными, функция cosx - четная:

sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) = cosx

Примеры

Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие - нечетными, а какие - ни четными, ни нечетными:

1. y = -2 sin 6x +tg4x;

2. y = 4cos 3x + 3;

3. y = sinx + cosx.

Решение

1. f(-x) =-2sin 6(-x )+tg4(-x) = 2 sin 6x - tg4x= -(-2 sin 6x +tg4x) =- f(x), функция является нечетной

2. f(-x) = 4cos 3(-x) + 3 =4cos 3x + 3= f(x), функция является четной.

3. f(-x) = sin(-x) + cos(-x) =-sinx +cosx ? - f(x) ? f(x),

значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

...