Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування
Краткое сожержание материала:
11
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни
„Математичне програмування”
Завдання 1
1) Побудувати математичну модель задачі лінійного програмування.
2) Звести дану задачу до канонічного вигляду.
Діва вироби В1 і В2 обробляються послідовно на трьох верстатах. Кожний виріб типу В1 потребує 1 год. для обробки на першому верстаті, 2 год. - на ІІ-му і А год. - на третьому.
Кожний виріб В2 потребує для обробки 2 год, А год. і 3 год. відповідно на І-му, ІІ-му і ІІІ-му верстатах.
Час роботи на першому верстаті не повинен перевищувати 10N год., на ІІ-му - 15N год., на ІІІ-му - 50 год.
Скласти план виробництва при максимальному прибутку, якщо відомо, що продаж одного виробу типу В1 приносить прибуток 5 грн., а типу В2 - 3 грн.
Примітка: А=, тобто А=.
Розв'язання.
Типи верстатів |
Затрати часу, год |
Час роботи, год |
||
В1 |
В2 |
|||
І в |
1 |
2 |
60 |
|
ІІ в |
2 |
А |
90 |
|
ІІІ в |
А |
3 |
50 |
|
Прибуток, грн |
5 |
3 |
1) Математична модель задачі.
Позначимо кількість виробів В1 і В2 відповідно х1 та х2.
Цільова функція (величина прибутку), яку потрібно максимізувати
Спеціальні обмеження задачі визначаються обмеженнями часу роботи верстатів і нормативами часу обробки виробів на верстатах. При обсягу випуску виробів В1 і В2 відповідно х1 та х2 і заданих нормативах часу обробки час роботи першого верстату дорівнює
час роботи другого верстату
час роботи третього верстату
Спеціальні обмеження є наступними:
Загальні обмеження задачі витікають з природи економічних змінних і полягають у тому, що вони не можуть мати від'ємні значення, тобто
Отже маємо математичну модель задачі:
за умов
Словесно задача формулюється таким чином: знайти значення змінних х1 та х2, які задовольняють заданій системі обмежень і доставляють максимальне значення цільовій функції Z.
2) У канонічній формі задачі лінійного програмування спеціальні обмеження подаються рівностями. Перехід до канонічної форми здійснюється шляхом введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. В даному випадку до першого обмеження вводиться змінна х3, до другого - х4, до третього - х5. Додаткові змінні вводяться зі знаками „+”, оскільки обмеження мають тип „”. Математична модель задачі у канонічній формі:
за умов
Завдання 2
Розв'язати задачу лінійного програмування графічним методом
за умов
Розв'язання.
В декартовій системі координат х1Ох2 будуємо прямі, які визначаються нерівностями системи обмежень. Це прямі ; ; . Кожна пряма ділить площину х1Ох2 на дві половини, в одній з яких виконується відповідна нерівність системи обмежень, а в іншій не виконується. Півплощини, в яких виконуються нерівності системи обмежень позначені штриховою біля прямих. Переріз цих півплощин являє собою область припустимих планів задачі. Це - чотирикутник ОАВС.
Цільова функція визначає сімейство паралельних прямих ліній з різними значеннями параметра z. При z=0 маємо пряму , що проходить через початок координат. Збільшенню значення параметра z відповідає переміщення прямої цільової функції у напрямку, позначеному вектором n+. Безпосередньо з креслення видно, що максимальному значенню параметра z (максимуму цільової функції при заданих обмеженнях) відповідає точка припустимої області, яка є вершиною В чотирикутника ОАВС (це остання точка припустимої області, яка належить прямій цільової функції z при її переміщенні у напрямку збільшення параметра z). Координати (х1, х2) цієї точки є шуканим оптимальним планом задачі.
З креслення визначаємо: .
Отже, оптимальним планом даної задачі є , цільова функція при цьому набуває максимального значення .
Завдання 3
Розв'язати систему лінійних рівнянь методом повного виключення
змінних з використанням розрахункових таблиць.
Будуємо розрахункову таблицю і обираємо за ведучий елемент а21=1 (у таблиці виділений):
х1 |
х2 |
х3 |
B |
|
3 |
-2 |
2 |
-3 |
|
1 |
4 |
-1 |
0 |
|
4 |
-1 |
4 |
6 |
Перераховуючи елементи таблиці, виключаємо з першого і третього рівнянь (перший і третій рядки таблиці) змінну х1, отримуємо
х1 |
х2 |
х3 |
B |
|
0 |
-14 |
5 |
-3 |
|
1 |
4 |
-1 |
0 |
|
0 |
-17 |
8 |
6 |
Обираємо за ведучий елемент а12=-14 (у таблиці виділений) і, виконавши перерахунок, виключаємо змінну х2 з другого і третього рівнянь.
Отримуємо таблицю
х1 |
х2 |
х3 |
B |
|
0 |
1 |
-5/14 |
3/14 |
|
1 |
0 |
3/7 |
-6/7 |
|
0 |
0 |
27/14 |
135/14 |
Обираємо за ведучий елемент а33=-27/14 (у таблиці виділений) і, виконавши перерахунок, виключаємо змінну х3 з першого і другого рівнянь. Отримуємо таблицю
х1 |
х2 |
х3 |
B |
|
0 |
1 |
0 |
2 |