Основы линейной алгебры

Понятие и назначение определителей, их общая характеристика, методика вычисления и свойства. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений и их решение. Векторная алгебра, ее закономерности и принципы. Свойства и приложения векторного произведения.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1. Определители, их вычисление и свойства

Определитель n - го порядка обозначается символом:

  ,

где  - элементы определителя, горизонтальные ряды элементов определителя называются его строками, вертикальные  столбцами. Для элемента  индекс i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Элементы   составляют главную диагональ, а элементы  - побочную диагональ.

Минором  элемента  определителя n-го порядка называется определитель (n-1) - го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием i - ой строки и j - го столбца.

Алгебраическим дополнением  элемента  называется его минор , взятый со знаком  , т.е.  .

При n = 1 определитель состоит из одного элемента  и равен значению этого элемента:  .

При n ? 2 определителем n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Например, запишем разложение определителя по элементам первой строки:

(1)

Применяя формулу (1), можно получить формулу для вычисления определителей второго и третьего порядков.

.

Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле треугольников:

Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак плюс имеют произведения элементов главной диагонали и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали (схема I, рис. 1). Знак минус имеют произведение элементов побочной диагонали и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали (схема II, рис. 1).

I II

Рис. 1

Свойства определителей (верны для определителей любого порядка)

1) При транспонировании, т.е. замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, величина определителя не изменится (равноправность строк и столбцов).

 

2) При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.

3) Определитель равен нулю, если

а) все элементы какого-либо столбца (строки) равны нулю;

б) элементы двух столбцов (строк) одинаковы;

в) элементы двух столбцов (строк) пропорциональны.

4) Умножение всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя на одно и то же число  равносильно умножению на  определителя.

5) Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей следующим образом:

6) Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель  .

Шестое свойство применяется при вычислении определителей любого порядка (n  2) по формуле (1). Оно позволяет все элементы какого-либо столбца (строки), кроме одного, сделать равными нулю. Затем определитель вычисляется разложением по элементам этого столбца (строки). Тем самым сводят его вычисление к нахождению определителя меньшего порядка. Повторяя этот прием, получают определитель второго или третьего порядка, который вычисляется непосредственно.

2. Алгебра матриц

Матрицей размеров m, n называется таблица из m  n чисел  , расположенных в m строк и n столбцов:

.

Две матрицы  и  одного размера называются равными, если все соответствующие их элементы равны, то есть   .

Суммой двух матриц  и  одного размера называется новая матрица  имеющая те же размеры, и элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, то есть

  .

Произведением матрицы  на число  называется новая матрица  , элементы которой равны произведению элементов данной матрицы на число  , то есть  .

Пусть даны две матрицы  и  , причем число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы  на матрицу B называется новая матрица  , число строк которой равно числу строк матрицы A,

а число столбцов  числу столбцов матрицы B. Чтобы получить элемент  матрицы  , надо элементы  - ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы  - го столбца матрицы B и результаты сложить.

  .

Перестановочным свойством умножение матриц не обладает.

Матрица  называется обратной квадратной матрице A, если выполняется равенство:

;

  , где E  единичная матрица.

Для того чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, то есть чтобы определитель  .

Обратная матрица определяется по формуле:

  ,

где  - алгебраические дополнения элементов  в определителе  . Отметим, что алгебраические дополнения  входят в обратную матрицу в транспонированном порядке по сравнению с элементами  данной матрицы A.

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида  и  (при  ). Умножая первое уравнение на  слева, а второе уравнение на  справа, получим их решение в виде:  и  .

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы A называется следующие действия:

1) перестановка двух строк;

2) умножение какой-либо строки на число  ;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число  .

Элементарными преобразованиями второго рода матрицы A называются аналогичные действия со столбцами.

Рангом матрицы A называется максимальный порядок  (  ) отличных от нуля миноров матрицы A.

Ранг матрицы A можно вычислить последовательным нахождением его миноров, начиная с максимальных. Однако удобнее использовать свойство ранга: ранг матрицы не меняется при любых элементарных преобразованиях этой матрицы.

3. Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

  (1)

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один свободный член не равен нулю.

Формулы Крамера

Если число уравнений линейной системы равно числу неизвестных (m = n) и главный определитель системы

  ,

то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

  ,

где определитель n-го порядка  (i = 1,2,…, n) получается из главного определителя системы  путем замены  - го столбца столбцом свободных членовb₁, b₂,…, b_n.

Решение линейной системы с помощью обратной матрицы

Пусть дана система  линейных уравнений с n неизвестными. Ее можно записать в матричной форме AX=B, где A =  - матрица из коэффициентов при неизвестных, а B и X - столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица A невырожденная, т.е. определитель  , то умножая обе части матричного уравнения AX=B на обратную матрицу A^-1 слева, получаем решение системы в матричной форме X=A^-1B.

Метод Гаусса

Метод Гаусса  метод последовательного исключения неизвестных. Он применим для любого числа уравнений с любым числом неизвестных. Этот метод позволяет выяснить, имеет ли система единственное решение, множество решений или не имеет решений. Критерий совместности линейной системы  уравнений с  неизвестными (1) можно установить с помощью понятия ранга матрицы.