Основні методи інтегрування

Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування. Метод інтегрування частинами.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Основні методи інтегрування

1. Таблиця основних інтегралів

метод інтегрування функція

Щоб успішно застосовувати інтегральне числення під час розв'язування задач, необхідно насамперед оволодіти технікою знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Одним з основних моментів успішного оволодіння технікою інтегрування елементарних функцій є досконале знання таблиці основних інтегралів. Ця таблиця є сукупністю формул, які треба знати напам'ять, і складена за таблицею похідних з використанням властивості інваріантності формули інтегрування. Справедливість формул таблиці можна перевірити диференціюванням.

Нехай u=u(x) - довільна функція, що на проміжку Х має неперервну похідну u/(x). Тоді на цьому проміжку справедливі такі формули:

.

.

( -1).

, або (u0).

(a>0, a1), при а=е .

.

.

, де соsu0, тобто в будь-якому інтервалі, що не містить точок виду , n Z.

, де sinu0, тобто в будь-якому інтервалі, що не містить точок виду u=n, n Z.

, або .

, або .

, або .

, або , в інтервалі u (-a,a).

.

.

, якщо під коренем знаходиться u2-a2, то |u|>|a|.

.

.

.

Ця таблиця має такий вигляд і у випадку, якщо u = x, тобто u є незалежною змінною інтегрування.

Зупинимося детальніше на деяких формулах.

За формулою маємо . Функція визначена і неперервна х(-,0) (0,).

Якщо х>0, то однією з первісних є F(x)=lnx, оскільки . Отже, для х>0 .

Якщо х<0, то однією з первісних для є F(x)=ln(-x), оскільки . Отже, для х<0 .

Об'єднуючи ці два випадки, одержуємо формулу

Або

.

За формулою з п.13 маємо . Щоб переконатися у справедливості цієї формули, знайдемо похідну від правої частини

.

За формулою з п.17 маємо . Доведемо її справедливість. Для цього перетворимо підінтегральну функцію

.

Оскільки
dx=d(x-a)=d(x+a), маємо

Інтеграли називаються табличними, за їх допомогою можна знаходити й інші інтеграли, і мета існуючих методів інтегрування полягає в тому, щоб звести шуканий інтеграл до табличного. У подальшому рамки наведеної таблиці інтегралів розширятимуться.

Основні методи інтегрування

Інтегрувати функції значно складніше, ніж диференціювати. При диференціюванні функції безпосередньо застосовуються основні формули диференціювання. При інтегруванні функцій безпосередньо застосувати основні формули можливо лише в окремих випадках.

Як правило, підінтегральну функцію доводиться перетворювати для зведення інтеграла до табличного.

Ми розглянемо зараз основні методи інтегрування, які спрощують зведення підінтегральної функції до такого вигляду, що дає змогу застосувати безпосереднє інтегрування, тобто обчислювати інтеграл за допомогою таблиці інтегралів і основних властивостей невизначених інтегралів.

2. Метод розкладання на суму

Цей метод грунтується на розкладанні підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій і застосування властивості лінійності інтеграла:

.

Приклади.

1. Знайти інтеграл .

Застосовуючи властивість лінійності невизначеного інтеграла, маємо

.

^{Використовуючи формули основних інтегралів, знаходимо}

;

;

;

;

.

Таким чином,

.

Всі довільні сталі підсумовуємо, результат позначаємо однією літерою, тому і остаточно отримуємо

. .

У правильності отриманого результату легко переконатись диференціюванням.

2. Знайти інтеграл .

Інтеграл табличний. Тому можна перейти до безпосереднього інтегрування. За формулою з п. 12, де а=4, одержуємо

.

3. Знайти інтеграл .

Інтеграл не табличний, тому перетворимо підінтегральну функцію. Оскільки , то інтеграл можна записати у вигляді

.

Застосовуючи властивість з п.4, маємо

.

Одержали два табличних інтеграла і за формулами знаходимо

.

Знайти інтеграл .

За формулою знаходимо . Тоді

Знайти інтеграл .

Тут підносити до 14 степеня недоцільно, й оскільки , то за формулою з п.3, в якій u=6x-5, маємо

.

Знайти інтеграл .

При обчисленні подібних інтегралів доцільно користуватися тригонометричними формулами розкладу добутку в суму. Тут

,

а .

Тоді за формулою з п.7 і властивістю з п.4 маємо

Обчислити інтеграл .

Оскільки , то

За формулою з п.3,

.

За формулою з п.12, де а=3, маємо

.

Тоді , де С=С1+С2.

Отже бачимо, що для інтегрування не достатньо просто знати формули і вміти їх застосовувати, а ще необхідний досвід, який послідовно здобувається в процесі розв'язання прикладів.

3. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження шуканого інтеграла до табличного, тобто перейти до безпосереднього інтегрування. Такий метод називається методом підстановки, або заміни змінної.

Теорема (про інтегрування за допомогою підстановки). Нехай F(x) первісна функції f(x) на проміжку Х, тобто

,

а функція х=(t) визначена і диференційована на проміжку Т, множиною значень якої є проміжок Х. Тоді справджується рівність

.

Доведення. Згідно з правилом диференціювання складеної функції, маємо:

,

а ця рівність на підставі першої властивості невизначеного інтеграла і доводить теорему.

Нехай інтеграл не є табличним. Тоді для його знаходження доведена теорема застосовується одним з таких двох способів.

1. Припустимо, що від підінтегральної функції f(x) можна відокремити функцію таку, що підінтегральний вираз запишеться у вигляді

.

Тоді за теоремою маємо

.

Якщо інтеграл у правій частині зводиться до табличного, то для нього можна записати первісну G(t) або G((x)) і тоді

.

При цьому може бути зручним формалізований запис:

.

Або запис у формі введення функції під знак диференціала

.

Тут диференційована функція (х) є змінною інтегрування.

2. При знаходженні невизначеного інтеграла користуються підстановкою x=(t), де функція (t) є диференційованою t T, /(t)0 t T і має обернену функцію t=-1(x).

Таким чином, приходимо до попередньої підстановки.

При цьому формалізований запис буде таким:

Отже, при інтегруванні заміною змінної виконуються підстановки двох видів: t=(х) і х=(t). Підстановки треба підбирати так, щоб одержані після перетворень нові інтеграли зі змінною інтегрування t були табличними. І після їх знаходження від введеної змінної інтегрування t потрібно перейти до заданої змінної інтегрування х.

Розглянемо приклади.

1. Знайти .

Розв'язання. Скористаємося формалізованим записом:

.

Або

Тобто, якщо в чисельнику маємо похідну знаменника, то однією з первісних є логарифм модуля знаменника.

Наприклад:

оскільки (sinx)/=cosx, то ;

оскільки (1+х2)/=2х, то .

2. Знайти .

...