Определенный интеграл
Краткое сожержание материала:
1
Определенный интеграл
Содержание
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
2. Геометрический смысл определенного интеграла
3. Основные свойства определенного интеграла
4. Формула Ньютона-Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям
Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
2. Объем тела вращения
3. Длина дуги плоской кривой
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Литература
Лекция 1. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:
1) разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;
2) в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;
3) найдем произведения , где - длина частичного отрезка , ;
4) составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;
5) найдем предел интегральной суммы, когда .
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .
Таким образом, .
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу - осью Ох, слева и справа - прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Рис. 2
Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа - отрезками прямых и , снизу - отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
3. Если , то, по определению, полагаем
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
6. Если функция интегрируема на и , то
.
7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .
4. Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
, (2)
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:
,
где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
.
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором - находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула
, (3)
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования - достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).
На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:
.
Пример 4. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:
.
Пример 5. Вычислить интеграл .
Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:
.
6. Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
. (4)
Доказательство
Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем
,
откуда
.
Пример 6. Вычислить .
Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим
.
Пример 7. Вычислить .
Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Пример 8. Вычислить .
Решение. Полагая , определяем . Следовательно:
[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =
.
Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу - осью , слева и справа - прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле
. (5)
Пример...
Определенный интеграл
Криволинейный интеграл первого рода. Двойной интеграл в декартовой и полярной системе координат. Интеграл по поверхности (первого рода). Приложение оп...
Производная, дифференциал и интеграл
Пределы последовательностей и функций. Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Нео...
Разработка программы вычисляющей определенный интеграл методом трапеций
Разработка программы, которая вычисляет определенный интеграл методом трапеций для подынтегральной функции и моделирует задачу вынужденных колебаний б...
Определенный интеграл
Интеграл Риммана как одно из понятий математического анализа. Примеры решения определенного интеграла. Площадь криволинейного сектора в полярных коорд...
Несобственный интеграл
Если интеграл сходится абсолютно,то он сходится.Если интеграл от |f(x)| расходится,а от f(x) –сходится,то говорят,что несобственный интеграл сходится...