Онтологический статус основных понятий математической концепции Н. Бурбаки

Природа математики как строгой науки, отношения математических объектов и целостных структур реального мира. Различия в трактовке Платоном и Аристотелем онтологического статуса математических сущностей. Анализ математической концепции семинара Н. Бурбаки.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

ОНТОЛОГИЧЕСКИЙ СТАТУС ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КОНЦЕПЦИИ Н. БУРБАКИ



Аннотация

При анализе методологического подхода к математике группы Н. Бурбаки раскрыт онтологический статус понятий «основные структуры» и «математические топологии».

Ключевые слова: математическая онтология, основные структуры, математические топологии.

Annotation

Ontological status of basic concepts of mathematical conception of N. Burbaky

At the analysis of methodological approach by mathematics of group of N. Burbaky ontological status of concepts is exposed «basic structures» and «mathematical to the topology».

Keywords: mathematical ontology, basic structures mathematical to the topology.



Вопрос об отношении математических объектов и целостных структур реального мира - основной в объяснения природы математики как строгой науки. Лишь в ходе решения проблемы о статусе математических понятий и теорий, становится возможным рассматривать прочие философские проблемы математики, трактовка которых непосредственно зависит от того, истолковываются ли математические понятия как отражения свойств объектов реального мира, либо же они трактуются как «идеи», имеющие «самостоятельное» существование, являющиеся продуктом творчества трансцендентального субъекта.

В рамках античной парадигмы математической онтологии причиной различий в трактовке Платоном и Аристотелем онтологического статуса математических сущностей является разница между объективным идеализмом Платона, как идеалистическим плюрализмом, и объективным идеализмом Аристотеля, как идеалистическим монизмом. По убеждению Платона, математика, как абстрактное построение разума, оказывается моделью, порождающей, при её приложении к познанию первоначал всего сущего, остальные виды знания. Она в то же время и модель, порождённая остальными видами знания. По Аристотелю, математическое познание - это познание формы единого предмета, присоединение к которой нового элемента знания позволяет рассматривать образовавшийся элемент как субстанцию. Форма - общее, реально же единичное.

В истории философской и математической мысли взгляды Платона и Аристотеля неоднократно подвергались переосмыслению. Вопросы о том, что в философском контексте представляют собой математические предметы и объекты, до настоящего времени не имеет однозначного решения.

Автор при анализе методологического подхода к математике семинара Н. Бурбаки ставит целью раскрыть онтологический статус основных понятий их математической концепции - «основные структуры» и «математические топологии». Необходимо отметить, что учение французских математиков с философской точки зрения не анализировалось.

Н. Бурбаки - собирательный псевдоним, под которым группа математиков во Франции с 1939г. выступает с попыткой осуществить идею, исходящую от Д. Гильберта - рассмотреть различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода. В многотомном трактате семинара Н. Бурбаки «Элементы математики», выходящем с 1939 г., развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить главнейшие разделы математики как «частные аспекты общей концепции». Изложение носит абстрактный и формализованный характер, дается лишь логический каркас теорий. Основы изложения составляют структуры, определяемые посредством аксиом, например структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения - от общего к частному. Классификация разделов математики производится по типам структур. Она значительно отличается от традиционной классификации.

Структурный подход к математике Н. Бурбаки, если рассматривать его с позиции онтологического статуса её объектов, обладает двумя важными особенностями. Во-первых, проекцией некоторых установок целостных структур реального мира. Во-вторых, универсальными принципами математических операций. Необходимость последних появляется вследствие использования алгоритмов. Система безусловных предписаний охватывает все возможные условия существования абстрактных сущностей вне зависимости от их смысла.

Введение удобного и сжатого языка алгоритмов всегда сопровождается рассуждениями, принадлежащими к метаматематике. Д. Гильберт, а затем и группа Н. Бурбаки показали, что эта дисциплина, абстрагируясь от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает их как структуры заранее данных объектов, в которых важен лишь порядок расположения этих объектов. В «Общей топологии» встречаются примеры с использованием ресурсов арифметики. Это касается, в частности, факторпространства, когда рассматриваются произведения факторпространств. В метаматематических рассуждениях в отношении факторпространств описываются операции, поддающиеся выполнению и контролю. Сами метаматематические рассуждения записаны с использованием «дедуктивных критериев».

По убеждению группы французских математиков, формализованная математика не может быть записана вся полностью, «… потому приходится питать доверие к тому, что можно назвать здравым смыслом математика, - доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле или численной таблице и которое, в конечном счете, основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами» [1. с. 272]. Математикам приходится покидать формализованную математику. Все математические тексты пишутся отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные формализации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление служит наиболее известным примером. Логика, подчиненная аксиомам собственно математики, «… не определяет ни того, что такое математика, ни того, чем занимаются математики» [1. с. 256], а представляет собой «…не больше и не меньше, как грамматику языка, которым мы пользуемся, языка, который должен был существовать еще до того, как могла быть построена грамматика» [1. с. 256]. Ситуация с бесконечными множествами продемонстрировала необходимость новых модификаций логики при развитии математики.

Автор особо стремится подчеркнуть то обстоятельство, что, применяя аксиому выбора и закон исключающего третьего, Н. Бурбаки отвергается концепция Д. Гильберта о непротиворечивости в отношении существования математических объектов. По поводу непротиворечивости своих построений они отмечали, что все противоречия возможно преодолеть способом, «… позволяющим избежать всех возражений и не оставляющим сомнения в правильности рассуждений» [1. с. 256]. В отношении непротиворечивости группой Н. Бурбаки делается утверждение: «…как показывает анализ исторического развития математики, было бы неверно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиворечивость предстаёт как цель, к которой следует стремиться, как некое данное Богом качество, ниспосланное нам раз и навсегда. С древнейших времен критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из ее разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать... Но вот уже 25 веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно» [1. с. 259].

Выражая полную уверенность в том, что любые возникающие проблемы математики непременно будут разрешены, Н. Бурбаки высказывается мнение о том, что «… если когда-нибудь будет доказано, что математика противоречива, то, скорее всего, станет определённо ясно, какому правилу следует приписать полученный результат. Отбросив это правило, или надлежащим образом видоизменив его, мы избавимся от противоречия. Иначе говоря, математика изменит направление своего развития, но не перестанет быть наукой. Сказанное не просто умозаключение: нечто подобное произошло после открытия иррациональных чисел. Мы далеки от мысли оплакивать это открытие, потому что оно вскрыло противоречие в пифагорейской математике, а, напротив, сегодня мы считаем его одной из великих побед человеческого духа» [1. с. 265]. В качестве основных методов разрешения математических противоречий Н. Бурбаки на первый план были выведены: во-первых, анализ математических структур; во-вторых, большое внимание было уделено взаимопроникновению алгебры, арифметики и теории функций.

Автор отмечает, что непротиворечивость - это одна из проблем, занимающих современных логиков и математиков. Математическая теория называется противоречивой, если какая-либо теорема доказывается в ней вместе со своим отрицанием. В этом случае, исходя из правил умозаключения, лежащих в основе построения синтаксиса формализованных языков, можно сделать вывод о том, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в данной теории. Если приходим к противоречию, то не можем оставить его существовать, не обесценивая теории, в которой оно возникло.

Метаматематика может рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. Определить, что некоторая теория непротиворечива, - значит утверждать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением a = a. Чтобы избежать проблемы непротиворечивости, необходимо, чтобы непротиворечивость богатого формализованного языка можно было доказать посредством рассуждений, формализуемых в языке менее богатом и, тем самым, более достойном доверия. Но теорема К. Гёделя о неполноте утверждает, что это невозможно для языка, достаточно богатого аксиомами. При доказательствах относительной непротиворечивост...