Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский Государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» (СГАУ)

Филиал в г. Тольятти

Кафедра математики и механики

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине: «Математическое моделирование»

Тема: Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Тольятти 2010

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Смоделировать случайную величину x, имеющую закон распределения, близкий к нормальному, с параметрами на основе суммы N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. На основе выборки объема n исследовать статистические характеристики случайной величины x, решив следующие задачи.

Построить гистограмму распределения и изобразить ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности .

Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины x, используя критерий 2 Пирсона при уровне значимости .

Исходные значения:

Конечное математическое ожидание

Среднее квадратическое отклонение

Размер выборки

Доверительная вероятность

Уровень значимости

Количество выбираемых значений

Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону

Смоделировать случайную величину y, имеющую заданный непрерывный закон распределения. На основе выборки объема n исследовать статистические характеристики случайной величины y, решив следующие задачи.

Построить гистограмму распределения и изобразить ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Определить выборочные оценки математического ожидания и дисперсии.

Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности

Проверить гипотезу о виде распределении случайной величины Y, используя критерий 2 Пирсона при уровне значимости .

Исходные значения:

Распределение

Оценка статистических характеристик случайного процесса

Оценить точность работы автоматической системы управления динамической системой второго порядка, задав заданные законы распределения помех внутри объекта и погрешности измерений, на отрезке [0,T]. На основе выборки объема n исследовать статистические характеристики случайного выходного вектора (), решив следующие задачи.

Определить статистические характеристики системы управления в момент времени .

Проверить гипотезу о независимости случайных величин при уровне значимости в момент времени .

Найти эмпирические уравнения регрессии на и на и изобразить их графически одновременно с выборочными значениями.

Произвести оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени t.

Исходные значения:

Начальные условия - по равномерному закону

Ошибка измерения y2 - по равномерному закону

Исходная матрица В равна:

; Параметры управления: и .

Оценка статистических характеристик стационарного случайного процесса

Смоделировать стационарный процесс, имеющий параметры в соответствии с заданием. На основе реализации длины Т исследовать статистические характеристики выходного случайного процесса , решив следующие задачи.

Произвести оценку математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса.

Получить оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса, используя различные формулы, и сравнить их с соответствующей точной аналитической оценкой спектральной плотности.

Исходные значения:

Время

Процесс смешанного типа порядка ,

РЕФЕРАТ

Данная курсовая работа выполняются на ЭВМ с применением современного математического пакета MathCAD.

Цель курсовой работы - закрепление знаний по дисциплине «Математическое моделирование».

Введение

Цель курсовой работы - изучение студентами особенностей решения некоторых часто встречающихся статистических задач математического моделирования на компьютере. Курсовая работа проводится с применением современного математического пакета MathCAD. Курсовая работа по содержанию соответствуют программе курса моделирования систем для студентов, обучающихся по специальности 230102 - автоматизированные системы обработки информации и управления.

В курсовую работу входят следующие разделы:

1. Моделирование случай ной величины, распределенной по нормальному закону.

В этом разделе изучаются приемы генерирования нормально распределенной случайной одномерной величины с заданными параметрами. Генерирование данной случайной величины производится при помощи N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. На основе выборки объема n производится оценка статистических характеристик полученной случайной величины, и решаются следующие задачи: 1) строятся гистограмма распределения и теоретическая плотность распределения, 2) вычисляются статистические оценки для математического ожидания и дисперсии, 3) определяются доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности; 4) проверяется гипотеза о нормальном распределении полученной случайной величины с использованием критерия Пирсона при заданном уровне значимости.

2. Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону.

В этом разделе изучаются приемы генерирования случайной непрерывной одномерной величины с заданным законом распределения. Закон распределения соответствует индивидуальному заданию. Для получения заданной случайной величины используются универсальный метод обратной функции и метод преобразований. При статистическом анализе качества полученной случайной величины решаются те же задачи, что и в первом разделе.

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса.

В этом разделе необходимо оценить точность работы линейной динамической системы автоматического управления (САУ) второго порядка, задав заданные законы распределения для ошибок измерений выходных характеристик САУ и законы распределения случайного шума внутри объекта управления. Точность работы САУ оценивается на отрезке времени [0,T]. На основе выборки объема n необходимо исследовать статистические характеристики случайного выходного двумерного вектора САУ, решив следующие задачи: 1) найти выборочные оценки для корреляционной матрицы выходного случайного вектора САУ в момент времени t=T, 2) проверить гипотезу о независимости случайных величин, входящих в выходной вектор при заданном уровне значимости, 3) найти эмпирические уравнения регрессии между компонентами выходного вектора САУ и изобразить их графически одновременно с выборочными значениями, 4) найти оценки для математических ожиданий, корреляционной и нормированной корреляционной функций случайного двумерного процесса, возникающего в САУ при действии на нее заданных случайных возмущений.

4. Оценка статистических характеристик стационарного случайного процесса.

В этом разделе изучаются вопросы статистического моделирования стационарных случайных процессов. Рассматриваются случайные процессы авторегрессии и скользящего среднего. При выполнении раздела студенты должны решить следующие задачи: 1) произвести генерирование стационарного случайного процесса в соответствии с индивидуальным заданием на отрезке времени; 2) произвести оценку математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса; 3) получить оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса и сравнить их с соответствующими точными аналитическими оценками.

1. Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Смоделируем случайную величину x, имеющую закон распределения, близкий к нормальному, с параметрами на основе суммы N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. Для этого воспользуемся формулами (1) и (2)

(1)

(2)

и датчиком равномерно распределенных случайных чисел .

Заданы следующие параметры нормального закона распределения:

n=165, a=0.5, =2, N=5, где

n - количество реализаций случайной величины,

a - математическое ожидание,

- стандартное отклонение,

N - количество экспериментов.

Тогда случайную...