Методы оптимизации функций многих переменных

Методы условной и безусловной нелинейной оптимизации. Исследование функции на безусловный экстремум. Численные методы минимизации функции. Минимизация со смешанными ограничениями. Седловые точки функции Лагранжа. Использование пакетов MS Excel и Matlab.
Краткое сожержание материала:

3

Кафедра: ИТ

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ

МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Екатеринбург 2007

Оглавление

• Введение
• Лабораторная работа № 1.
• 1. Методы безусловной оптимизации
• 1.1 Теоретический обзор. Исследование функции на безусловный экстремум
• 1.2 Численные методы минимизации функции
• 2. Порядок выполнения лабораторной работы
• 3. Пример выполнения лабораторной работы
• 4. Задания для лабораторного практикума
• Лабораторная работа № 2.
• 1. Методы условной оптимизации
• 1.1 Теоретический обзор. Решение задачи минимизации со смешанными ограничениями
• 1.2 Седловые точки функции Лагранжа
• 1.3 Решение задач квадратичного программирования методом седловой точки
• 2. Порядок выполнения лабораторной работы
• 3. Пример выполнения лабораторной работы
• 4. Задания для лабораторного практикума
• Библиографический список
• Приложение

Введение

Настоящая работа является первой в серии методических указаний к лабораторным работам по дисциплинам "Методы оптимизации и нелинейное программирование" и "Методы оптимизации". Данные дисциплины читаются студентам 2-го курса специальности 230101 - Вычислительные машины, комплексы, системы и сети и направления 230100 - Информатика и вычислительная техника (бакалавры).

В указаниях рассматриваются задачи безусловной и условной нелинейной оптимизации. В теоретической части по каждой теме приводятся базовые понятия, теоремы и алгоритмы, которые потребуются для выполнения работ. Для выполнения графической и расчетной частей задач и реализации численных методов оптимизации студенты должны применить знание языков программирования и пакетов MATLAB, MATCAD, EXCEL. Выбор конкретного инструмента предоставляется самому студенту. Приведены примеры порядка выполнения и оформления лабораторных работ.

Проведенные вычисления, графические работы, анализ полученных результатов должны быть оформлены в виде отчета в соответствии со стандартными требованиями, предъявляемыми к отчетам и пояснительным запискам [1]. Сведения из теории, содержащиеся в данных методических указаниях, в отчет включать не рекомендуется.

Лабораторная работа № 1.

1. Методы безусловной оптимизации

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в EXCEL и MATLAB.

1.1 Теоретический обзор. Исследование функции на безусловный экстремум

Рассматривается задача

f (x) > extr, xRⁿ. (1)

Метод поиска безусловного экстремума основывается на следующих утверждениях:

Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х^*Rⁿ. Тогда если х^*- локальное решение задачи (1), то

grad f (x^*) =0. (2)

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке х^*Rⁿ. Тогда

а) если х^* - точка локального минимума в задаче (1), то матрица Гессе Н (х^*) неотрицательно определена, т.е. рRⁿ выполняется неравенство (Н (х^*) р,р) ?0;

б) если х^* - точка локального минимума в задаче (1), то матрица Н (х*) неположительно определена, т.е. рRⁿ выполняется неравенство (Н (х^*) р,р) ?0.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке х^*Rⁿ и

grad f (x^*) =0. Тогда

а) если матрица Н (х^*) положительно определена, т.е. рRⁿ, р?0, (Н (х^*) р,р) >0, то х^* - точка строгого локального минимума функции f (x) на Rⁿ;

б) если матрица Н (х^*) отрицательно определена, т.е. рR, р?0, (Н (х^*) р,р) <0, то х^* - точка строгого локального максимума функции f (x) на Rⁿ.

Если grad f (x^*) =0, то х^* называется стационарной точкой. Для выпуклой (вогнутой) на Rⁿ функции стационарные точки являются точками ее глобального минимума (максимума). Строго выпуклые (вогнутые) функции имеют единственный глобальный минимум (максимум).

Критерий выпуклости функции. Дважды непрерывно дифференцируемая на выпуклом множестве Х с непустой внутренностью функция является выпуклой (вогнутой) на этом множестве в том и только том случае, когда матрица Гессе Н (х^*) неотрицательно (не положительно) определена для всех х Х.

При исследовании на знакоопределенность матрицы вторых производных функции рекомендуется применять критерий Сильвестра или анализ собственных значений матрицы.

Схема поиска безусловных экстремумов функции:

Составить и решить систему алгебраических уравнений (2).

В стационарных точках (точках, являющихся решением системы (2)) исследовать на знакоопределенность матрицу вторых производных; точки, в которых Н (х) >0, являются точками глобального минимума; стационарные точки, в которых Н (х) <0, являются точками глобального максимума.

Исходя из вида исследуемой функции, проанализировать стационарные точки, в которых матрица вторых производных не является строго знакоопределенной.

Найденные точки локального экстремума исследуются на глобальный экстремум (если это возможно). В частности, если матрица Гессе неотрицательно (не положительно) определена на всем пространстве Еⁿ, то все стационарные точки функции являются точками глобального минимума (максимума).

1.2 Численные методы минимизации функции

Численное решение задачи минимизации (1), как правило, связано с построением минимизирующей последовательности точек x⁰,x¹,x²,…,xⁿ,…, обладающих свойством

f (x^k) <f (x^k-1), k=0,1,… (3)

Общее правило построения минимизирующей последовательности имеет вид

x ^k+1=x ^k+t _kd ^k, k=0,1,…,

где х⁰ - начальная точка поиска; d^k - приемлемое направление перехода из точки x^k в точку x^k+1, которое обеспечивает выполнение условий (3) и называется направлением спуска; t_k - величина шага. Начальная точка поиска задается исходя из физического содержания решаемой задачи и априорных данных о существовании и положении точек экстремума.

При решении вопроса о выборе численного метода рекомендуется оценить поведение линий уровня целевой функции в окрестностях предполагаемой точки экстремума. Число m = L/l, где L и l - максимальное и минимальное собственные значения гессиана функции f в предполагаемой точке экстремума x⁰ (характеризующее разброс собственных значений оператора f (x)), называется числом обусловленности гессиана функции f в точке x⁰. Если m >> 1, то функция f называется плохо обусловленной или овражной. Овражность, то есть вытянутость линий уровня вдоль одного направления, приводит к тому, что градиентные методы поиска экстремума функции сходятся медленно.

В зависимости от наивысшего порядка частных производных функции f (x),...