Математический анализ

Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.
Краткое сожержание материала:

13

• Оглавление
• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3
• Задание 4
• Задание 5
• Задание 6
• Литература
• Задание 1.
• Исследовать функцию и построить ее график: .
• Решение:
• y = 0, если х = 0 или х =

13

• y(-1) = -2, y(1) = 2.

13

13

• Задание 2
• 1. ;
• 2. ;
• 3. ;
• 4. ;
• 5. Найти dy, если .
• Решение:
• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5. ,
• Ответ: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .
• Задание 3.
• Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями , х = 3 и осями координат.
• Решение:

13

• .
• Ответ: .
• Задание 4.
• Для сжатия пружины на L см требуется сила 9,8 Н. Какую работу надо совершить, чтобы сжать пружину на 0,05 м.
• Решение:
• Работа , где F - сила, s - расстояние, пройденное под действием этой силы.
• По закону Гука , где - абсолютное удлинение стержня, F - сила упругости, k - жесткость материала. Следовательно,
• .
• Ответ: .
• Задание 5.
• Найти интеграл:
• а) ;б) .
• Решение:
• а)
• б) .
• Ответ: а) ; б) .
• Задание 6.
• Исследовать функцию и построить ее график:
• 1. ;
• 2. ;
• 3. ;
• 4. ;
• 5.
• Решение:
• 1. - симметрична относительно оси Ох
• y = 0, если , т.е. .

13

• y(-2) = y(2) = -9/4
• y(0) = 7/4


13

13

• 2.
• Область определения
• y = 0, если , корней нет:

13

• , если


13

• Корень один, он близок к х = 1, находится между х = 1,05 и х = 1,06, это точка минимума.
• y(1) = 2, y(2) = 3.2, y(3) = 4,95

13

• 3.
• y = 0, если х = 1,
• область определения ,

13

• , х = 0 - асимптота.
• ;
• корней, принадлежащих области определения, нет.
• ;
• корней, принадлежащих области определения, нет.

13

• 4.
• Уравнение y = 0 корней не имеет,

• , , х = 1/5 - асимптота

13

• y(0.007) = -0.3

13

13

• 5.
• y(0.4 + 4рk) = 4.9 + 48рk
• y(-0.4 + 4рk) = -4.9 + 48рk
• ,
• знак совпадает со знаком ctg(x/2)

13

• Литература
• 1. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1, М., 2001. Ч. 2. 2001.
• 2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. М., 2001. Ч. 2, М., 2002.
• 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. М., 1988-1989.
• 4. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т. 1. М., 1993. Т. 2. М., 1995.
• 5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 2003.