История возникновения уравнений, понятие их решения и виды упрощения. Анализ способов решения ряда занимательных задач с помощью уравнений. Обращение Аль-Хорезми с уравнениями как с рычажными весами. Параметры и переменные, область определения и корень.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

План

• Введение
• Глава 1. История возникновения уравнений
• Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения
• Глава 3. Использование уравнений при решении задач
• Заключение
• Список используемой литературы

Введение

Великая и точная наука математика возникла в глубокой древности из практических деятельностей людей.

Математика возникла не только из практических нужд человека, но также как и поэзия, живопись, музыка, театр и вообще искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть может, не до конца осознанными еще, стремлением к познанию и красоте.

В истории науки принято называть первым математиком Фалеса - греческого купца, путешественника и философа. Фалесу приписывают первые математические теоремы. Кстати, Фалес не был "чистым" математиком, он решал и прикладные задачи. Измерив тень от египетской пирамиды и тень от шеста и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так, по легенде, родилась наука математика.

В прежние времена, вплоть до конца XIX столетия, математикой занимались немногие. Сейчас ей посвящают жизнь десятки, а возможно сотни тысяч людей.

Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видели ее главную задачу в содействии объяснению законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова: " Великая книга Природы написана языком математики".

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Ньютона, Гюйгенса, одним из основных стимулов, для которых было постичь законы движения тел. В трудах этих ученых математика и физика как бы сливались воедино. Союз математики и наук о природе принес самые яркие плоды в начале XX в. Тогда родилась теория относительности и квантовая механика. Это стало триумфом математики: чисто теоретические построения математики действительно оказались языком, на котором написана книга Природы.

Однако приложения математики ограничиваются не только квантовой механикой и физикой, но и с XVIII в., со времен Эйлера и Лагранжа математика служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения - от строительства зданий и мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов - были бы невозможны без математики.

Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время - период невиданного расцвета математики. Достижения XX в. по меньшей мере сопоставимы с результатами всего предшествующего периода его развития - от Фалеса до начала XX столетия. А число еще не раскрытых тайн неисчерпаемо.

На вопрос " для чего изучают математику?" замечательно ответил еще в XIII в. английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон: " Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества". Действительно, не имея существенных знаний по математике, мы не сможем точно и конкретно понять и другие важные науки для нашей жизни…

В настоящее время математика представлена большим количеством разделов: алгебра, геометрия, тригонометрия, топология, математический анализ, теория чисел и многими другими.

В школьном курсе математика представлена таким разделом как: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и начала анализа. Большую часть школьной математики занимает алгебра. Ее элементы начинают изучать уже в начальной школе (равенства, простейшие уравнения, неравенства) и продолжаются до 11 класса до логарифмических, показательных и дифференциальных уравнений.

Самый большой материал, который рассматривают на протяжении всех лет изучения алгебры - это различные уравнения и способы их решения. Уравнения уже сами по себе представляет интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности, очевидно, что роль уравнений в естествознании определяет и их роль в школьном курсе математики. Большое значение в алгебре играет метод уравнений в решении задач жизненного содержания: это задачи, связанные с основами современного производства, экономика народного хозяйства, задач в смежных дисциплинах (физики, химии, биомеханики, астрономии и т.д.) Поэтому темой нашего реферата выбраны уравнения.

Целью являются изучение истории возникновения уравнений, понятия решения уравнений и виды их упрощения, а также рассмотрение способов решения ряда занимательных задач с помощью уравнений.

Реферат состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении рассмотрено то, что явилось причиной возникновения математики и ее роль в развитии различных наук. Глава первая посвящена истории возникновения уравнений, во второй главе описывается понятие решения уравнений и способы их упрощения, в третьей главе рассматриваются решения занимательных задач методом уравнений. И в заключении сформулированы основные выводы о значении уравнений в курсе математики.

Глава 1. История возникновения уравнений

Представим, что в очень легком - практически невесомом - кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется - столько же их и в кошельке.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов." Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…", - поучал во втором тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели каким-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако, ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: " Смотри!", " Делай так!", " Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата - "Китаб аль-джебр Валь-мукабала" (" Книга о восстановлении и противопоставлении") - со временем превратилось знакомое всем слово "алгебра". А само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Аль-Хорезми один из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеет равенство 5х - 16=20 - 4х. Считая, что оно задает равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было	5х - 16=20 - 4х,
добавил	+ 16+16,
стало	5х = 36 - 4х.

После этой законной операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со значением плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно также на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

было	5х=36 - 4х,
добавил	+4х +4х,
стало	9х=36.

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х=36 уже легко вычислить что х=4.

Восстановлением ("аль-джебр") аль-Хорезми назвал операцию исключения из обеих частей уравнения вычитаемых членов путем добавления противоположных по знаку. Противопоставление ("аль-мукабала") - это сокращение в частях уравнения одинаковых членов.

Взгляд уравнения как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Ра...