Математика для экономических специальностей

Способы задания, предел и непрерывность функции. Свойства неопределенного интеграла. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов. Порядок дифференциального уравнения. Случайные события и операции над ними. Классическое определение вероятности.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

32

Размещено на

Федеральное агентство по образованию

Ростовский институт (филиал)

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Российский государственный торгово-экономический университет»

Кафедра высшей математики

Печенежская И.А., Дерезина Н.П.

Математика для экономических специальностей

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

2008

УДК 517 (075.4)

ББК 22.1

П 158

Печатается по решению кафедры математики

Печенежская И.А., Дерезина Н.П. Математика для студентов экономических специальностей. Учеб. пособие. Ростов-на-Дону. Издательство Ростовского государственного педагогического университета. 2008 - 49 с.

В пособии дано простое и доступное изложение разделов математики, которые изучаются студентами экономических специальностей.

© Печенежская И.А., Дерезина Н.П. 2008 г.

Содержание

I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Функция. Способы задания функции

2. Предел функции

3. Бесконечно малая величина

4. Бесконечно большая величина

5. Непрерывность функции

6. Производная функции, геометрический смысл производной

7. Производная сложной функции

8. Формулы дифференцирования

9. Понятие дифференциала функции, геометрический смысл дифференциала

II. Интегральное исчисление

1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл

2. Свойства неопределенного интеграла

3. Основные методы интегрирования

4. Таблица неопределенных интегралов

5. Определенный интеграл. Геометрический смысл

6. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла

7. Площади плоских фигур

III. Ряды

1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда

2. Свойства сходящихся рядов

3. Необходимый признак сходимости

4. Достаточные признаки сходимости ряда

5. Знакочередующиеся ряды

6. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости

IV. Дифференциальные уравнения

1. Порядок дифференциального уравнения, общее и частное решение

2. Уравнения с разделяющимися переменными

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

4. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

5. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

V. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Уравнение линии

VI. Решение систем линейных алгебраических уравнений

1. Постановка задачи

2. Определители второго и третьего порядка, их вычисления и свойства

3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

4. Метод Гаусса

VII. Теория вероятностей

1. Случайные события и операции над ними

2. Классическое определение вероятности

3. Теоремы о вероятности суммы событий

4. Теоремы о вероятности произведения событий

5. Формула полной вероятности и формула Бейеса

6. Формула Бернулли

7. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

8. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

I. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Функция. Способы задания функции

Определение. Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует определенное значение другой переменной y, то y есть функция от х: y=f(x).

Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных х и y называется функциональной зависимостью. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции y в силу правила f(x), называется областью определения функции. Если функция y=f(x) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее значение функции, то функция y=f(x) называется возрастающей. Аналогичным образом определяется убывающая функция.

Правила, которые определяют значения функции по заданному значению аргумента, могут быть заданы аналитически, графически или табличным способом.

При аналитическом способе функция задается в виде математической формулы y=f(x), где f(x) указывает, какие математические действия следует выполнить над аргументом х, чтобы получить соответствующее значение функции y.

Например, .

Графический способ задания функции состоит в том, что в прямоугольной системе координат задается некоторая кривая, абсцисса (координата х) каждой точки которой дает значение аргумента х, а ордината (координата y) соответствующее значение функции y.

Табличный способ задания функции заключается в том, что функциональная зависимость задается в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений аргумента и соответствующих значений функции y.

Таковы, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Основные элементарные функции:

а) степенная функция у=хn

б) показательная функция у=ах

в) логарифмическая функция у=logqх

г) тригонометрическая функция у=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x

д) обратные тригонометрические функции у=arctg x, y=arcctg x, y= arccos x, y=arcsin x

Предел функции

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к числу а, если для любого сколь угодно малого е>0 существует такое д>0, что для всех х?а, удовлетворяющих неравенству < д, будет выполняться неравенство < е.

Это записывается так: .

Смысл равенства простой: если значения аргумента х сколь угодно близко приближаются к числу а, то соответствующие значения функции f(x) сколь угодно близко приближаются к числу А.

В качестве примера покажем, что .

Для этого зададим произвольное число е>0 и посмотрим, для каких значений х будет выполняться неравенство < е.

Имеем < е, откудa , следовательно, < е, а потому <. Обозначим . Таким образом, для всех х, удовлетворяющих неравенству <, выполняется неравенство <, т.е. .



Если аргумент х неограниченно возрастает и становится больше любого наперед заданного числа, то говорят, что х стремится к «+?» и записывают х> +?.

Если х неограниченно убывает и становится меньше любого наперед заданного отрицательного числа, то говорят, что х стремится к «-?»: х> -?.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х> ?, если для всех достаточно больших «х» соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа А:

.

Аналогично можно дать определение предела функции при х> -?.

Перечислим основные свойства пределов функции, которые понадобятся при решении примеров.

1. Если С - константа, то

2.

3.

4.

5. здесь предполагается, что .

6.

Заметим, что все формулы верны тогда, когда все пределы, входящие в левую и правую части равенств, существуют.

Бесконечно малая величина

Определение. Функция б(х) называется бесконечно малой величиной при х, стремящейся к «а», если

Для бесконечно малых величин справедливы следующие утверждения:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина:

2. Произведение констант на бесконечно малую величину есть бесконечн...