Математика в средние века

Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Математика в средние века



Содержание

Введение

1. Математика Древнего и Средневекового Китая

1.1 Нумерация

1.2 Арифметические действия

1.3 Дроби

1.4 Математика в девяти книгах

1.5 Правило двух ложных положений

1.6 Системы линейных уравнений со многими неизвестными

1.7 Отрицательные числа

1.8 Начальные этапы развития тригонометрии

1.9 Квадратные уравнения

1.10 Теоретико-числовые задачи

1.11 Геометрические задачи

2. Математика Древней и Средневековой Индии

2.1 Создание позиционной десятичной нумерации

2.2 Арифметика натуральных чисел и дробей

2.3 Алгебраическая символика

2.4 Отрицательные и иррациональные числа

2.5 Извлечение квадратного корня

2.6 Линейные уравнения

2.7 Квадратные уравнения

2.8 Неопределенные уравнения

2.9 Теорема Пифагора

2.10 Площади и объемы

2.11 Тригонометрия

2.12 Бесконечные ряды

2.13 Комбинаторика

Список использованной литературы

Введение

После крушения античного рабовладельческого общества развитие математических наук в течение нескольких столетий происходило главным образом в странах Ближнего и Среднего Востока - в тех самых странах, которые были колыбелью древнейших цивилизаций и где после завоеваний Александра находились главные культурные и научные центры эллинистического мира. Все эти страны в Средние века входят в состав арабского халифата, и наука в них развивается на арабском языке. Первоначально сосредоточившиеся в Двуречье и Египте, это развитие вскоре распространяется по всем странам халифата, охватывая на Востоке Иран и Среднюю Азию, а на западе страны Магриба и мусульманскую Испанию. Страны ислама были не единственными областями развития в это время : наука развивалась и в Византии - наследнице восточной части Римской империи , и в сопредельных и тесно связанных с ней в культурном отношение странах Закавказья. Значительных высот наука достигла в это время в Индии и Китае, где она начала развиваться еще в античную эпоху; начиная с Х в. На этот путь вступает Западная Европа, а через несколько столетий и Восточная Европа. Уровень развития производства во всех этих странах был примерно одним и тем же, большое сходство имелось и в их социальной структуре.

В таких условиях и характер математики во всех этих странах в главном был один и тот же: средневековая математика это в первую очередь элементарная математика постоянных величин и неизменных геометрических фигур, но такая общая характеристика еще недостаточна. Это прежде всего вычислительная математика, совокупность расчетных алгоритмов для решения арифметических , алгебраических, геометрических задач , вначале простых , затем значительно усложняющихся и стимулирующих теоретическую обработку и создание новых математических понятий ; вначале алгоритмов разрозненных, затем объединяемых в научные дисциплины. Развитие математики в Средние века начинается с уровня , значительного более низкого, чем достигнутый в эллинистических странах, но к концу этого периода намного опережает уровень, науки времен Птолемея - мы имеем в виду такие области математики, как коммерческая арифметика, алгебра и ее приложения, приближенные вычисления, учение о числе , тригонометрия, геометрические вычисления и построения. Характер этой математики, как мы видим, весьма близок и к характеру эллинистической математики первых веков нашей эры: поворот математики к решению практических задач, решение которых требовало развитие производства, транспорта, торговли и таких практических наук, как астрономия, механика и оптика, начался еще в эллинистическую эпоху, но был прерван крушением античного мира. Разумеется, математика каждой из этих областей обладает своими особенностями. В частности, в математике стран ислама и в более поздней математике Западной Европы чувствуется значительное влияние греческой математики. Такое внимание в гораздо меньшей степени имеет место в математики в математике в средневековой Индии и, насколько известно, отсутствует в математике средневекового Китая.

Для каждой из рассматриваемых нами облостей развитие средневековой математики характерен единый научный язык. Таким языком для византии и связанных с ней стран был греческий язык (в этом Византия продолжала традиции эллинистических стран) , для стран ислама - арабский, для Западной Европы - латынь, для Индии - санскрит, для стран распространения китайской культуры - китайское иероглифическое письмо. На местных языках, например армянском, персидском или итальянском, писались только элементарные учебные пособия, но теоретические труды армяне этой эпохи писали по-гречески, персы и таджики, так же как и другие народы Средней Азии, по-арабски, а итальянцы, как и другие народы Западной Европы, - по-латыни.

Математические труды средневековых ученых, как и ученых древности, сохранились только в виде рукописей, многие из которых, написанные на восточных языках, были изучены лишь за последние десятилетия. Поэтому долгое время в Европе было распространено совершенно неправильное мнение о роли и значении трудов математиков средневекового Востока в истории математики. Неправильному представлению способствовали презрительные «европоцентрические» взгляды некоторых историков на достижения народов Востока. Эти ученые считали достойными внимания только математиков греко-эллинистического мира и Европы, математикам стран ислама отводили роль промежуточного звена между эллинизмом и Европой, у индейцев ценили лишь те их достижения, которые через арабов вошли в европейскую математику, а китайскую математики не рассматривали вовсе, считая, что она не оказала влияния на развитие математики в Европе.

Исследования последних десятилетий показали, что все указанные области развития математики были так или иначе связаны друг с другом: связи между математикой Китая и Индии прослеживаются с первых веков нашей эры и особенно усиливаются в период распространения буддизма, когда в Китае появляются индийские ученые. В это же период индийская наука распространяется на территории стран ислама, и через арабов элементы китайской и индийской математики попадают в средневековую Европу. Начиная с эпохи монгольского нашествия, между странами ислама и Китаем устанавливаются непосредственные связи. В это время китайские ученые появляются в странах ислама, а среднеазиатские и иранские - в Китае. И наконец кроме известного пути научного влияния арабов на Европу через Испанию и Италию, которые находились в тесной связи с западными арабами, следует отметить более поздний, но не менее важный путь влияния науки стран ислама через Византию и греков, переселившихся в Европу после взятия Константинополя турками. Эти греки познакомили европейцев со многими достижениями математиков стран ислама XIII - XV вв. Некоторые из ученых стран ислама испытали на себе влияние математики Китая.



1. Математика Древнего и Средневекового Китая

Китайская цивилизация возникла в начале ?? тысячелетия до н.э. на берегах реки Хуанхэ. Источниками явились памятники, относящиеся к XV???- X?? в.в. до н.э.- надписи на гадательных костях животных и панцирях черепах. На гадательных костях X?V в. до н.э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Обломки посуды, относящиеся к X???-X?? в.в. до н.э., снабжены геометрическими орнаментами; например, изображениями правильных пяти-, семи-, восьми - и девятиугольников.

X?? в. до н.э.- деятельность знаменитого философа Конфуция (Кунцзы, до н.э.), выработавшего основы учения о ?добродетельном поведении?, а также возникновение математики и астрономии в Китае.

1.1 Нумерация

Эта нумерация основана на мультипликативном принципе. При записи числа, состоящего из тысяч, сотен, десятков и единиц, сверху или слева записывается число тысяч, затем знак тысячи, число сотен, знак десятка и число единиц. Если какой-нибудь разряд отсутствует, он пропускается. Разряды записываются сверху вниз или слева направо.

Если мы будем обозначать цифры от до нашими обычными цифрами, а , и - римскими цифрами , мы можем записать число этим способом в виде .

Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились на счетной доске с помощью счетных палочек. Цифры, составленные из счетных палочек, имели вид:

0 - O 3 - III 6 - 9 - 20 - IIO

1 - I 4 - IIII 7 - 10 - IO 100 - IOO

2 - II 5 - IIIII 8 - 15 - 200 - IIOO

1000 - IOOO.

Отсутствие разряда указывалось пустым местом на счетной доске. В математической литературе эти цифры изображались на бумаге. Отсутствие разряда указывалось знаком о.

Впоследствии, на основе счетной доски возник счетный прибор суаньпань, напоминающий счеты.

1.2 Арифметические действия

Пользование счетной доской избавляло от необходимости применения таблиц сложения. Поэтому в текстах зафиксированы лишь правила умножения и деления.

Пример на умножение: =.

Действия производятся, начиная со старших, а не с младших разрядов. Расположение заданных чисел и ответа иное, чем на бумаге.