Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

содержание

• введение
• 1. Линейное уравнение первого и второго порядка
• 1.1 Линейное уравнение первого порядка
• 1.2 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами
• 2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА
• 2.1 Общие свойства линейного уравнения n-го порядка
• 2.2 Однородное линейное уравнение n-го порядка
• 2.3 Неоднородное линейное уравнение n-го порядка
• 2.4 Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
• 3. Системы линейных уравнений. Общая теория
• 3.1 Системы линейных уравнений
• 3.2 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Заключение
• Библиография
• Приложение
• дифференциальный линейный уравнение однородный


введение

Актуальность этой темы заключается в том, что многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знаний сводятся к следующей задаче: найти функцию ¦, имея некоторые уравнения, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Т.е. многие вопросы этих областей знаний решаются с помощью дифференциальных уравнений.

Уравнения, содержащие производные по многим независимым переменным, называются уравнения в частных производных. Уравнения, cодержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Независимую переменную, производная по которой входит в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают буквой x (или буквой t, поскольку во многих случаях роль независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обозначают через y(x).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде соотношения

Порядок старшей производной, входящей в это уравнение называется порядком уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Целью данной дипломной работы является подготовка материалов для методического пособия по теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Задачами исследования были: изучение и анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; рассмотрение свойств уравнений первого, второго и n-го порядков и свойств системы линейных уравнений; рассмотрение методов решения линейных однородны и неоднородных дифференциальных уравнений и применение их при решении физических задач, а также систем линейных дифференциальных уравнений..

Предметом исследования работы: являются линейные обыкновенных дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы линейных уравнений.

Объектом исследования работы являются реальные процессы, описываемые данными дифференциальными уравнениями.



1. Линейное уравнение первого и второго порядка

1.1 Линейное уравнение первого порядка

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

(1.1.1.)

Если, то уравнение называется однородным. Как легко видеть, линейное однородное уравнение

(1.1.2.)

приводится к уравнению с разделяющимися переменными

,

общий интеграл которого имеет вид

(1.1.3)

а общее решение -

(1.1.4)



где. Очевидно, что частное решение уравнения (1.1.2), которое мы потеряли, разделив (1.1.1) на , содержится в формуле (1.1.4) при. Поэтому (1.1.4), где - теперь уже любое вещественное число, является общим решением уравнения (1.1.2).

Из (1.1.4), записывая первообразную в виде определенного интеграла , получим частное решение уравнения (1.1.2), удовлетворяющее начальному условию в виде

(1.1.5)

Заметим, что по самому способу построения формула (1.1.5) является доказательством единственности решения начальной задачи для уравнения (1.1.2), в предложении, что это решение существует. Действительно, подставляя любое решение начальной задачи в уравнение (1.1.2) и проводя последовательно преобразования (1.1.3) - (1.1.5), мы всегда придём к одному и тому же результату - формуле (1.1.5). Чтобы доказать существование решения данной задачи, достаточно путём достаточно путём непосредственной проверки убедится, что для непрерывной функции функция , определённая формулой (1.1.5), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для уравнения (1.1.2). Очевидно, подобные рассуждения можно провести и в случае начальной задачи для уравнения с разделяющимися переменными.

Решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) найдём методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы используем специальную замену неизвестной функции



, (1.1.6)

где - функция, подлежащая определению. Подставляя такой вид решения в уравнение, получаем

откуда

.

интегрируя это равенство, найдём

и окончательно

. (1.1.7)

Из полученного выражения следует, общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) представляется в виде суммы общего решения (1.1.4) линейного однородного уравнения (1.1.2) и частного решения неоднородного уравнения (1.1.1), в чём легко убедится, подставив второе слагаемое формулы (1.1.7) в неоднородное уравнение (1.1.1).

Решение начальной задачи для уравнения (1.1.1) найдём, определяя из начального условия постоянную С₁ в формуле (1.1.7). При этом в качестве первообразных функций, записанных в (1.1.7) в виде неопределённых интегралов, удобно взять определённые интегралы .

Тогда и

т.е.

(1.1.8)

Таким образом, искомое решение определяется как сумма решения однородного уравнения (1.1.2), удовлетворяющего заданному начальному условию, и решения неоднородного уравнения, удовлетворяющего нулевому начальному условию.

Представление (1.1.8) получено в предложении существования решения. Оно доказывает единственность решения начальной задачи для неоднородного уравнения (1.1.1)

Существование решения начальной задачи для уравнения (1.1.1) при непрерывных функциях и устанавливается непосредственно подстановкой формулы (1.1.8) в уравнение и начальное условие.

Замечание. Единственность решения этой задачи можно установить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерными вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два различных решения начальной задачи и Рассмотрим их разность . Очевидно, функция является решением начальной задачи для соответствующего однородного уравнения с нулевым начальным условием



Отсюда, в силу единственности решения начальной задачи для линейного однородного уравнения, следует, что .

Получим важную оценку роста решения начальной задачи для линейного уравнения. Пусть в уравнении (1.1.1) функции и на рассматриваемом промежутке изменения независимой переменной удовлетворяют условиям

(1.1.9)

Тогда для решения начальной задачи из представления (1.8) для следует оценка

(1.1.10)

В заключении этого пункта укажем некоторые часто встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.

Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли.

где , иначе уравнение уже линейное. Введём новую неизвестную функцию тогда уравнение перейдёт в линейное уравнение



общее решение которого даётся формулой (1.1.8).

Более сложное уравнение Риккати

в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно обладает следующим важным свойством: если известно какое-либо частное решение уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно, введя новую неизвестную функцию

получим для неё уравнение Бернулли

что доказывает высказанное утверждение.

1.2 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида



(1.2.1)

Это уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчающих его исследование, а в ряде случаев и решение.

Ознакомимся с основными свойствами линейного уравнения на примере уравнения маятника

, , (1.2.2)

которое является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала случай . В этом случае уравнение называется однородным. Физически это означает, что маятник движется свободно, на него не действуют внешние (вынуждающие) силы,

(1.2.3)

Будем искать решение этого уравнения в виде , где - некоторая неизвестная заранее постоянная. Подставляя искомый...