Корни многочленов от одной переменной

Понятие многочлена и его степени. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. Многочлены от одной переменной. Равенство и значение многочленов. Операции над многочленами, основные понятия схемы Горнера. Кратные и рациональные корни многочлена.
Краткое сожержание материала:

27

Новосибирский государственный педагогический университет.

Математический факультет.

Кафедра алгебры.

Курсовая работа по математике.

Многочлены

Выполнила: студентка 35гр.

Голобокова О.В.

Научный руководитель:

старший преподаватель

Гейбука С.В.

г. Новосибирск, 2008

Содержание

• Введение
• §1. Многочлены от одной переменной
• Понятие многочлена. Степень многочлена
• Равенство многочленов. Значение многочленов
• Операции над многочленами
• Схема Горнера
• Корни многочленов
• Кратные корни многочлена
• Рациональные корни многочлена
• § 2. Задачи о многочленах
• Заключение
• Список литературы

Введение

Тема моей курсовой работы "Многочлены".

В ней я хочу дать понятие многочлена, определить операции над ними, рассмотреть способы нахождения остатков при делении: схема Горнера. А так же рассмотреть виды корней: рациональные, кратные.

Для этого мне нужно изучить научную и методическую литературу, подобрать и решить задачи по данной теме, включая олимпиадные.

В первой главе своей работы я рассматриваю основное понятие многочлена, операции над ними, ввожу определение и основные понятия схемы Горнера, рассматриваю кратные и рациональные корни многочлена. Во второй главе решаю задачи, включая олимпиадные.

§1. Многочлены от одной переменной

Понятие многочлена. Степень многочлена

Многочленом от переменной х будем называть выражение вида

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a_0,где n - натуральное число; а_n, a_n-1,..., a₁, a₀ - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Выражения a_nxⁿ, a_n-1x^n-1,..., a₁х, a₀ называются членами многочлена, а₀ - свободным членом.

Часто будем употреблять и такие термины: a_n - коэффициент при хⁿ, а_n-1 - коэффициент при х^n-1 и т.д.

Примерами многочленов являются следующие выражения: 0х⁴+2х³+ (-3) х³+ (3/7) х+; 0х²+0х+3; 0х²+0х+0. Здесь для первого многочлена коэффициентами являются числа 0, 2, - 3, 3/7, ; при этом, например, число 2 - коэффициент при х³, а - свободный член.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.

Так, например, многочлен 0х²+0х+0 - нулевой.

Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом. Этот термин происходит от греческих слов рплй - много и нпмч - член.

Многочлен от одной переменной х будем обозначать так: f (x), g (x), h (x) и т.д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f (x), то можно записать: f (x) =0x⁴+2x³+ (-3) x²+3/7x+.

Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.

Те члены не нулевого многочлена, у коэффициенты равны нулю, не записывают. Например, вместо f (x) =0x³+3x²+0x+5 пишут: f (x) =3x²+5; вместо g (x) =0x²+0x+3 - g (x) =3. Таким образом, каждое число - это тоже многочлен. Многочлен h (x), у которого все коэффициенты равны нулю, т.е. нулевой многочлен, записывают так: h (x) =0.

Коэффициенты многочлена, не являющиеся свободным членом и равные 1, тоже не записывают. Например, многочлен f (x) =2x³+1x²+7x+1 можно записать так: f (x) =x³+x²+7x+1.

Знак ‹‹-›› отрицательного коэффициента относят к члену, содержащему этот коэффициент, т.е., например, многочлен f (x) =2x³+ (-3) x²+7x+ (-5) записывают в виде f (x) =2x³-3x²+7x-5. При этом, если коэффициент, не являющийся свободным членом, равен - 1, то знак "-" сохраняют перед соответствующим членом, а единицу не пишут. Например, если многочлен имеет вид f (x) =x³+ (-1) x²+3x+ (-1), то его можно записать так: f (x) =x³-x²+3x-1.

Может возникнуть вопрос: зачем, например, уславливаться о замене 1х на х в записи многочлена, если известно, что 1х=х для любого числа х? Дело в том, что последнее равенство имеет место, если х - число. В нашем же случае х - элемент произвольной природы. Более того запись 1х мы пока не имеем права рассматривать как произведение числа 1 и элемента х, ибо, повторяем х - это не число. Именно таким обстоятельством и вызваны условности в записи многочлена. И если мы дальше говорим все-таки о произведении, скажем, 2 и х без всяких оснований, то этим допускаем некоторую нестрогость.

В связи с условностями в записи многочлена обращаем внимание на такую деталь. Если имеется, например, многочлен f (x) =3х³-2х²-х+2, то его коэффициенты - это числа 3, - 2, - 1,2. Конечно, можно было бы сказать, что коэффициентами являются числа 0, 3, - 2, - 1, 2, имея в виду такое представление данного многочлена: f (x) =0x⁴-3x²-2x²-x+2.

В дальнейшем для определенности будем указывать коэффициенты, начиная с отличного от нуля, в порядке их следования в записи многочлена. Так, коэффициентами многочлена f (x) =2x⁵-x являются числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Дело в том, что хотя, например, член с х² в записи отсутствует, это лишь означает, что его коэффициент равен нулю. Аналогично свободного члена в записи нет, поскольку он равен нулю.

Если имеется многочлен f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a₀ и a_n?0, то число n называют степенью многочлена f (x) (или говорят: f (x) - n-й степени) и пишут ст. f (x) =n. В этом случае a_n называется старшим коэффициентом, а a_nxⁿ - старшим членом данного многочлена.

Например, если f (x) =5x⁴-2x+3, то ст. f (x) =4<...