Історія виникнення методу координат та його розвиток. Канонічні рівняння прямої. Основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач. Розробка уроку з використанням координатно-векторного методу.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Вступ

Координатний метод розв'язування задач на сьогоднішній день найбільш потужний і при правильному підході дозволяє розв'язувати фактично всі види математичних, фізичних, астрономічних і технічних задач. Проте, координатний метод в рамках шкільної програми використовується доволі обмежено і неповно. В своїй роботі ми поставили задачу показати, як розв'язуються стереометричні задачі, якщо на них поглянути «по-іншому», тобто розглянути задачу в тривимірній системі координат.

Об'єкт - процес навчання учнів стереометрії у 11 класі.

Предметом дослідження є координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач.

Завдання дослідження:

1) Дослідити історію виникнення координатно-векторного методу навчання розв'язування задач та його розвиток.

2) Розкрити зміст даного методу,розглянути основні формули.

3) Показати застосування методу на неважких, елементарних задачах, розв'язати факультативні стереометричні задачі з використанням координатно-векторного методу, порівняти і показати його переваги та розкрити методику викладання даного методу в стереометрії.

4) Розробити план-конспет уроку з використанням координатно-векторного методу для розв'язування стереометричних задач.

1. Історія виникнення методу координат та його розвиток

Виникнення в першій половиніXVII ст. аналітичної теорії,що встановила зв'язок між алгеброю і геометрією, не було випадковим. Воно було наслідком як розвитку математики, так і загальною потребою виробництва, економіки й торгівлі тієї епохи.

В основі аналітичної геометрії, створеної П. Ферма і Р. Декартом, лежать дві ідеї:

1) ідея координат, що привела до арифметизації площини тому, що кожній точці площини ставиться у відповідність два числа, взятих у певном, визначеному порядку, і навпаки;

2) ідея вираження будь-якого рівняння двома невідомими як деякої лінії на площині і, навпаки,представлення будь-якої лінії, визначеної, як деяке геометричне місце точок, які відповідають рівнянню.

Перша робота, що містила деякий опис системи координат і використання цього методу при розв'язуванні задач, була написана приблизно в середині 30-х років XVII ст. П'єром Ферма і названа ним «Введение в учение о плоских и телесных местах». До своїх нових ідей Ферма прийшов, ретельно вивчаючи, як і всі великі математики того часу, класичні праці давньогрецьких учених, в тому числі Аполонія. Ферма займався навіть відновленням одного втраченого твору Аполонія -- «Плоские места».

У передмові до «Введення» Ферма вказує, що давньогрецькі вчені не володіли загальними методами розв'язування геометричних задач. Кожна задача трактувалася окремо і незалежно від інших, подібних до неї задач.

Відсутність єдиного загального підходу до дослідження і вирішення завдань,як і відсутність символіки, призводило до повторення одного і того ж і робило неможливим раціонально класифікувати різні завдання і розглядати їх сутність з більш широкої точки зору. Ферма задався метою встановити загальний підхід до дослідження геометричних місць. Він з самого початку заявляє, що всяке рівняння між двома «невідомими.

На прямій NZ (Наша вісь абсцис), що позначається буквою А (наш х), він відзначає початковуточку N, потім при точці Z будує кут NZ1 (зазвичай прямий) і відкладає відрізок Z1 (ординату), що позначається літерою Е (наш у) і рівний другій невідомій.(Рис. 1)

Одним з недоліків праці Ферма була обмеженість його системи координат. По-перше, фіксованою вважалася лише вісь абсцис N2. Вісь ординат по суті відсутня, вона ніби передбачається. По-друге, х і у приймають, як і в давнину, лише додатні значення. Фактично вся система координат складалася з одного, першого квадранта.«Геометрія» Декарта була вперше опублікована французькою мовою в1637 р. у якості одного з трьох додатків до його філософського праці «Міркування про метод». У ньому, як і в інших своїх творах, Декарт висловив думку, що математика є найважливішим засобом для розуміння законів Всесвіту і кращим підтвердженням того, що людський розум здатний знайти істину в науці і пізнавати природу. Ще в 23-річному віці Декарта осяяла думка про перебудову всіх наук на математичній, аналітичній основі, думка про створення однієї єдиної та всеосяжної науки - «Універсальної математики». Ця думка його постійно надихала, хоча йому так і не вдалося здійснити її повністю. «Геометрія» Декарта і з'явилася як часткова реалізація загальної його ідеї, як об'єднання арифметики і алгебри з геометрією. Фактично «Геометрія» Декарта є алгебраїчною працею, і мало в ній можна знайти з того, що ми сьогодні називаємо «аналітичноїгеометрією ». Проте основна ідея останньої - алгебраїчний спосіб дослідження питань геометрії за допомогою методу координат - в ній чітко викладена. Значна частина «Геометрії» присвячена методам алгебраїчного і графічного розв'язування рівнянь.

Отже, не тільки у Ферма, а й у Декарта ще немає того, що ми називаємосистемою декартових координат на площині, є тільки вісь абсцис з початковою точкою на ній. Хоча «Геометрія» Декарта ще не являла собою справжню аналітичну геометрію, все ж вона як наука розвивалася саме під впливом цієї книги Декарта, а не під впливом «Введення» Ферма, що з'явилася у пресі лише в 1679 р.Через нелегкий стиль і нечіткий спосіб викладу «Геометрія» Декарта виявилася дуже важкою для читання. Вже в 1649 р. француз Ф. Дебон в своїх «коротких зауваженнях» коментує і доповнює Декарта. Так само вчинив голландський математик Франц Ван Скоотен, який видав «Геометрію» Декарта латинською мовою в 1649 і 1659 рр. У ван Скоотена ми вже знаходимо самостійне рівняння прямої у = аx + к, перетворення координат і т.п. Дж. Валліс вперше ввів і від'ємні абсциси, які він застосував разом із від'ємними ординатами. Метод координат поступово пробивав собі дорогу. Деякі з послідовників Декарта хоча і малювали другу вісь координат, але не застосовували її. Істотним поштовхом для подальшого розвитку координатної геометрії на площині були невелика праця Ньютона «Перерахування кривих третього порядку» (1706) і книга його співвітчизника Дж. Стірлінга «Ньютонові криві третього порядку» (1717), в яких використовувалися обидві осі (хоча вісь V ще не вважалася рівноправноюз віссю X) і квадранти. Лише Г. Крамер у своєму «Введення в аналіз алгебраїчних кривих »(1750) вперше ввів вісь V, вважаючи її рівноправною з віссю X1, і чітко користувався поняттям двох координат точки на площині. Цього нововведення, однак, ще немає в другому томі «Введення в аналіз»(1748) Ейлера. З іншого боку, ця робота Ейлера, присвячена геометрії, стала першою в сучасному сенсі аналітичної геометрії конічних перерізів. Близькі до сучасних нові позначення і розташування матеріалу плоскої аналітичної геометрії ми знаходимо вперше у С. Лакруа в «Елементарний курс прямолінійної і сферичної тригонометрії та програм алгебри до геометрії », який перевидавався багато разів протягом цілого століття, починаючи з 1798 р.Ще складніше щось говорити про полярну систему координат. Вважається, що її основи були також закладені в геометрії Декарта, але подальшого глибокого розвитку її в математиці не простежується. І математики мало приділяють уваги полярній системі координат. Це пов'язано з незручністю її використання при проведенні розрахунків і побудов, а також складністю сприйняття об'єктів в полярній системі координат. Хоча, при вивченні об'єктів, що знаходяться на величезних відстанях і недоступних об'єктів дуже зручно використовувати саме полярну систему координат. Вся теорія руху небесних тіл побудована на основі полярної системи координат. Були розроблені формули переходу від декартової системи координат в полярну і навпаки.

На даний момент, різні системи координат застосовуються у різних галузях науки. В школі найчастіше працюють з декартовими та полярними системами координат. А основні положення вчень відомих математиків стали основою координатного методу розв'язування задач, який частково досліджується в роботі.

2. Координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач

Деякі метричні задачі зручно розв'язувати за допомогою координатно-векторного методу. Це перш за все завдання, в яких мова йде про куб, прямокутний паралелепіпед або тетраедр з прямим кутом. Прямокутна система координат у просторі природним чином пов'язана з многогранниками, при цьому серед координат їх вершин є багато нулів, що спрощує обчислення.

Сутність координатного методу, як і векторного, полягає в тому, що геометрична задача перекладається на мову алгебри, і її розв'язання зводиться до розв'язання рівнянь, нерівностей чи їх систем.

З курсу стереометрії відомо, що рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно ненульовому вектору в прямокутній системі координат має вигляд:

,

, де

Навпаки, будь-яке рівняння першого степеня визначає в координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами (A, B, C).

Положення площини в просторі однозначно визначається заданням трьох точок, що не лежать на одній прямій. Нехай дана площина перетинає осі координат в точках , , , але не проходить через початок координат. Підставивши координати цих точок у загальне рівняння площини, отримаємо:

, , ,

де числа відмінні від нуля. Звідси знаходимо:

і рівняння приводиться до вигляду:

Отримане рівняння називають рівнянням площини...