Характеристика и определение общих свойств слабо нормальных подгрупп и их конечных групп. Доказательство новых критериев принадлежности группы насыщенной формации. Критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Краткое сожержание материала:

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра ТВ и матстатистики

Курсовая работа

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.

Гомель 2007

Содержание

• ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
• ВВЕДЕНИЕ
• 1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
• 2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• ЛИТЕРАТУРА
• Перечень условных обозначений
• В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
• Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
• и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
• - пустое множество;
• - множество всех для которых выполняется условие ;
• - множество всех натуральных чисел;
• - множество всех простых чисел;
• - некоторое множество простых чисел, т.е. ;
• - дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
• примарное число - любое число вида ;
• Пусть - группа. Тогда:
• - порядок группы ;
• - порядок элемента группы ;
• - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
• - множество всех простых делителей порядка группы ;
• - множество всех различных простых делителей натурального числа ;
• -группа - группа , для которой ;
• -группа - группа , для которой ;
• - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
• - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
• - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
• - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
• - -ый коммутант группы ;
• - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
• - -холловская подгруппа группы ;
• - силовская -подгруппа группы ;
• - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
• - группа всех автоморфизмов группы ;
• - является подгруппой группы ;
• - является собственной подгруппой группы ;
• - является максимальной подгруппой группы ;
• нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
• - является нормальной подгруппой группы ;
• - подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
• - индекс подгруппы в группе ;
• ;
• - централизатор подгруппы в группе ;
• - нормализатор подгруппы в группе ;
• - центр группы ;
• - циклическая группа порядка ;
• - ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
• Если и - подгруппы группы , то:
• - прямое произведение подгрупп и ;
• - полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
• - и изоморфны.
• Группа называется:
• примарной, если ;
• бипримарной, если .
• Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
• - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
• , где .
• Группу называют:
• -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
• -нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
• -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
• -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
• нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
• метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
• разрешимой, если существует номер такой, что ;
• сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
• Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
• Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
• Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
• Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
• - цоколь группы .
• Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
• - класс всех групп;
• - класс всех абелевых групп;
• - класс всех нильпотентных групп;
• - класс всех разрешимых групп;
• - класс всех -групп;
• - класс всех сверхразрешимых групп;
• Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
• Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда:
• - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
• Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
• Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
• Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .
• Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .
• Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
• Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
• Пусть - группа и - различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .

Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , - квазинормальные в подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.

Пример. Пусть

,

где . И пусть , . Тогда и . Пусть - группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку , и - модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в наст...