Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр
Краткое сожержание материала:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры нормальна в (теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1 Пусть --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени в себя, тогда называют -арной алгебраической операцией.
Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций .
Определение 1.3 Пусть --- некоторая универсальная алгебра и (), тогда называют подалгеброй универсальной алгебры , если замкнута относительно операций из .
* Для любой операции , где и .
* Для любой операции элемент фиксируемый этой операцией в принадлежит .
Определение 1.4 Всякое подмножество называется бинарным отношением на .
Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:
* рефлексивно
* транзитивно и
* симметрично
Определение 1.6 Пусть некоторая эквивалентность на , тогда через обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через и называют фактормножеством множества по эквивалентности .
Определим -арную операцию на фактормножестве следующим образом:
Определение 1.7 Эквивалентность на алгебре называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:
Для любой операции для любых элементов таких, что имеет место .
Определение 1.8 Если и --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на .
тогда и только тогда, когда .
или или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества содержит максимальные элементы, то и само множество содержит максимальные элементы.
Определение 1.9 Пусть --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.
Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов выполняется равенство . В этом случае оператор называется мальцевским.
Определение 1.11 Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что для любого .
Определение 1.12 Подалгебра алгебры называется собственной, если она отлична от самой алгебры .
Определение 1.13 Подалгебра универсальной алгебры называется нормальной в , если является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .
Определение 1.14 Пусть и --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение называется гомоморфизмом, если
1) и имеет место ;
2) , где и элементы фиксируемой операцией в алгебрах и соответственно.
Определение 1.15 Гомоморфизм называется изоморфизмом между и , если обратное к нему соответствие также является гомоморфизмом.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть - гомоморфизм, --- конгруэнция, тогда .
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра, --- подалгебра алгебры и --- конгруэнция на . Тогда является подалгеброй алгебры , --- конгруэнцией на и .
Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть --- есть -алгебра и и --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то является конгруэнцией на и индуцирует такой изоморфизм .
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Определение 2.1 Пусть и --- конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом , сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1 Пусть . Тогда:
1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
2) ;
3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции в и обозначается .
В частности, если , то централизатор в будем обозначать .
Лемма 2.2 Пусть , --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) , где ;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из всегда следует
Доказательство:
1) Очевидно, что --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .
2) --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению
2.1. Значит
3) Пусть .
Тогда...
Абелевы универсальные алгебры
Теория формаций алгебраических систем, как самостоятельное направление современной алгебры, начало развиваться сравнительно недавно, в конце 60-х годо...
Абелевы универсальные алгебры
Понятие и свойства n-арных операций, универсальной алгебры и сигнатуры. Характеристика централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и доказательст...
Дослідження універсальних абелевих алгебр
Теорія формацій алгебраїчних систем. Основні визначення, позначення й використовувані результати. Властивості централізаторів конгруенції універсальни...
Представления редуктивных алгебр Ли
Содержит развернутое введение в современную теорию представлений редуктивных алгебр Ли. В основу изложения положены новые конструктивные методы, осно...
Введение в теорию алгебр Ли и их представлений
Данная книга является одним из лучших пособий для изучения теории алгебр Ли. В ней подробно излагаются основы теории: разрешимые алгебры, нильпотентны...