Композиции преобразований

Основные композиции движений пространства. Композиции центральных симметрий пространства. Композиция зеркальной и центральной симметрий пространства. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства.
Краткое сожержание материала:

19

Оглавление

Предисловие 3

Введение 4

§1. Композиции движений пространства. 4

1.1. Основные композиции движений пространства. 4

1.2. Композиции центральных симметрий пространства. 9

1.3. Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства. 11

1.4. Композиции осевых симметрий пространства. 12

1.5. Применение композиций движений

пространства к решению задач. 16

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства 18

Литература 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g - два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xX, конечно, yX и zX. Отображение определим законом (x)=g(f(x)). Тогда отображение является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: = g?f.

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

1. Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:

h?(g?f)=(h?g)?f.

2. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.

§1. Композиции движений пространства

1.1. Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1. Найти композицию поворота R_l и переноса пространства при условии, что вектор и ось поворота l не параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

R_l = S_b?S_a , где al, bl, (a, b)= (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), abl=O и =S_v?S_u , где u¦v, u. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда ?R_l=S_v?S_u?S_b?S_a=S_v?S_a . Если вектор не ортогонален оси l, то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b, т.е. равен . Композиция S_v?S_a есть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2, где P=am, Q=vm, m¦l. Итак,

?R_l =?R_l , m¦l.

Если l, прямые a и v пересекаются, поэтому =, и искомая композиция является поворотом R_m . Если при этом =, то имеем, что ?R_l = S_m, l, m¦l.

				m
	l
			Q
							v
				P		a
	O			u
			b

Рис. 1

Задача 2. Найти композицию двух поворотов пространства R_b?R...