Комплексные числа и матрицы

Запись комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изображение корней уравнения на комплексной плоскости. Умножение и сложение матриц. Вычисление определителя четвертого порядка. Проверка совместимости систем уравнений.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1. Дано комплексное число а

Требуется

1) Записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) Найти все корни уравнения z³ + а = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

а =

Решение:

Преобразуем заданное число, умножив числитель и знаменатель на сопряженное число :

а = = = = 1 + i

Воспользуемся двумя формами записи комплексных чисел - показательной и алгебраической:

= A exp(jц) = A₁ + jA₂

A₁ = A*cosц; A₂ = A*sinц;

A = ; ц =

А = = = 2

ц = arctg(1/) = 30⁰ = р/6

Таким образом, алгебраическая запись числа а:



а = 1 + i

комплексная запись числа а:

а = 2ехр{i*30⁰}

тригонометрическая запись числа а: а = 2(сos(р/6) + i*sin(р/6))

решим уравнение:

z³ + 1 + i = 0

z³ = - 1 - i

Воспользуемся формулой:

z_n =

n = 3 и k = 1, 2, 3

A = 2

ц = arctg(-1/) = р/6 + р = , тогда

Следовательно корни третей степени будут:

Z₁ = =

Z₂ =

Z₃ = =



Для изображения корней на комплексной плоскости запишем для удобства их в виде

Z₁ = =

Z₂ =

Z₃ = =

2. Найти неизвестную матрицу Х из заданного уравнения

Х = + 2

Решение.

Произведем действия над матрицами в правой части уравнения: умножение на число и сложение:

+ 2 = + =



Получаем уравнение

Х =

или в операторной форме:

АХ = В, тогда

Х = А^-1В

здесь А^-1 - обратная матрица

найдем обратную матрицу для А =

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а_ij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

A =

Обратную матрицу A^-1, будем искать в следующем виде:

где A_ij = ( -1 ) i+j * M _ij

М _ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А _ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

Найдем определитель матрицы А.

det A = = 1 * ( -1) - ( -1) * 2 = ( -1) - ( -2) = 1

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A^-1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

A =

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₁ ) элемента a₁₁.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₁, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₁ равно минору данного элемента.

A₁₁ = ( -1 ) 1+1 * M ₁₁ = ( -1 ) 1+1 * ( -1) = -1

Найдем алгебраическое дополнение A₁₂ элемента a₁₂ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

A =

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₂ ) элемента a₁₂.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₂, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

A₁₂ = ( -1 ) 1+2 * M ₁₂ = ( -1 ) 1+2 * 2 = -2

Найдем алгебраическое дополнение A₂₁ элемента a₂₁ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

A =

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₁ ) элемента a₂₁.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₁, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( -1 )2+1 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

A₂₁ = ( -1 ) 2+1 * M ₂₁ = ( -1 ) 2+1 * ( -1) = 1

Найдем алгебраическое дополнение A₂₂ элемента a₂₂. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

A =

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₂ ) элемента a₂₂.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₂, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( -1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₂ равно минору данного элемента.

A₂₂ = ( -1 ) 2+2 * M ₂₂ = ( -1 ) 2+2 * 1 = 1

Осталось, только записать обратную матрицу.

A ^-1 = 1 / 1 *

A ^-1 =

Таким образом получаем

Х= *

Произведем умножение матриц:

Х = * = = =

Окончательно получаем

Х =



3. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение:

Используем следующее свойство определителя :

Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится. Для столбцов все аналогично.

Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.

Найдем det A.

6 -7 0 2 =

det A = 1 -2 3 17

3 -1 5 0

5 -4 2 -5

К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 3.

-15 -7 0 2 =

= -5 -2 3 17

0 -1 5 0

-7 -4 2 -5



К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 5.

-15 -7 -35 2 =

= -5 -2 -7 17

0 -1 0 0

-7 -4 -18 -5

Разлагаем определитель по элементам третьей строки.

-7 -35 2 +

= ( - 1 )3+1 * 0* -2 -7 17

-4 -18 -5

-15 -35 2 +

( - 1 )3+2 * ( -1) * -5 -7 17

-7 -18 -5

-15 -7 2 +

( - 1 )3+3 * 0* -5 -2 17

-7 -4 -5

-15 -7 -35 =

( - 1 )3+4 * 0* -5 -2 -7

-7 -4 -18

-15 -35 2

= 1* -5 -7 17

-7 -18 -5

= 1 detC1 = 1 * 7 = 7

-15 -35 2 =

detC1 = -5 -7 17

-7 -18 -5



Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 3.

0 -14 -49 =

= -5 -7 17

-7 -18 -5

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

-7 17 +

= ( - 1 )1+1 * 0* -18 -5

-5 17 +

( - 1 )1+2 * ( -14) * -7 -5

-5 -7 =

( - 1 )1+3 * ( -49) * -7 -18

=14* -5 17 +

-7 -5

=(-49)* -5 -7 =

-7 -18

= 14* ( ( -5) * ( -5) - 17 * ( -7) ) +( -49) * ( ( -5) * ( -18) - ( -7) * ( -7) ) =

= 14 * 144 + ( -49) * 41 = 7

Ответ: А = 7

комплексный матрица уравнение определитель

4. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее

а)по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) мето...