Комплексное число, вектор, алгебраическая операция, дробь и многочлен
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Задание 1
Решить уравнения:
Решение:
Решим квадратное уравнение , используя формулу
Проверка:
Ответ: .
Задание 2
Вычислить:
Решение:
Возведение в степень комплексного числа производится по формуле:
Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:
Задание №3
Проверить, образует ли множество аддитивную Абелеву или мультипликативную Абелеву группу относительно операций + и •.
+ |
a |
b |
c |
|
a |
a |
b |
c |
|
b |
b |
a |
c |
|
c |
c |
b |
a |
|
• |
a |
b |
c |
|
a |
a |
b |
c |
|
b |
b |
a |
c |
|
c |
c |
b |
a |
Решение:
1. В множество М введена бинарная алгебраическая операция +.
2. = а (нулевой элемент)
а+а=а, а+b=b, а+c=c
3. Каждый элемент является обратным сам для себя (-a=a, -b=b, -c=c):
а+а=а, b+b=а, c +c=а
4. Ассоциативность выполняется
а+(b+c)=(a+b)+c
b+c = b+c
4. Коммутативность не выполняется: c+b=c, b+c=b, значит
По сложению множество группу образует, но она не Абелева.
1. В множество М введена бинарная алгебраическая операция •.
2. l = а (нулевой элемент)
а•а=а, а•b=b, а•c=c
3. Каждый элемент является обратным сам для себя (a-1=a, b-1=b, c-1=c):
a-1•а=а, b-1•b=а, c-1•c=а
4. Ассоциативность выполняется
а•(b•c)=(a•b) •c
b•c = b•c
4. Коммутативность не выполняется: c•b=c, b•c=b, значит
По умножению множество группу образует, но она не Абелева.
Задание №4
Указать геометрическую интерпретацию комплексных чисел, для которых выполняется:
Решение:
- каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0; 0). Большим радиусом и малым .
Сделаем чертеж:
Задание №5
Дано:
Найти:
Решение:
Две группы с операциями и называются изоморфными, если существует отображение такое, что:
1) - выполняется для
2) - биективно.
- биективное или взаимно-однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно.
Отображение - сюръективно, если (Im - образ) - выполняется для
Отображение - инъективно, если - выполняется для
Задание 6
Указать базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов:
Решение:
С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.
первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.
Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.
Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Базис
Линейные комбинации для системы векторов:
Задание №8
Построить пространство решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными и указать какой-либо базис:
Решение:
С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.
первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.
Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.
Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n - r = 4 - 2 = 2 параметров. Базисный минор это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть - базисный минор. Тогда х1 и х2 - базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, х3 и х4 - параметры. Обозначим для удобства х3 =С1 и х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
Тогда:
Общее решение исходной системы имеет вид:
Частные решения системы линейных уравнений получаем, придавая параметрам конкретные числовые значения. Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности
n - r = 4 - 2 = 2, т. е. базис в этом пространстве состоит из двух линейно независимых решений. Придадим параметрам С1 и С2 поочередно следующие значения: С1 = 1 и С2 = 0 и С1 = 0 и С2 = 1, тогда получим два частных решения системы, линейно-независимых между собой,
Решения Е1 и Е2 образуют один из базисов пространства решений данной системы, которое можно записать, как оно состоит из бесчисленного множества четверок вида , где С1 и С2 принимают произвольные значения. Размерность этого пространства равна двум.
Задание 9
Найти НОД и указать линейную форму:
Решение:
Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:
х+1
0
Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:
х+1
Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:
х+1
0
Один из корней многочлена равен -2 (нашли способом подбора). Разложим на множители:
х+2
0
Разложим многочлен на множители
У многочлена три различных корня: -1; -2; 3. Подставим каждый из этих корней в многочлен
Общий корень у многочленов только один: -2, значит НОД(f(x); g(x))=x+2
Задание №10
Найти остаток от деления:
Решение:
787 простое число, оценим остаток, при делении взяв простое число меньшей степени.
-1
Остаток от деления -1.
Задание 11
комплексный число алгебраический вектор
Найти значение многочлена и всех его производных при ; разложить многочлен на элементарные дроби.
Решение:
Разложим многочлен на элементарные дроби:
х-1
х-1
х-1
х-1
5
Задание 12
Отделить кратные корни многочлена
Решение:
0
НОД(;)= =
Разложим многочлен на множители
0
Один из корней многочлена равен 1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:
х-1
0
0
Многочлен имеет два корня: -2 кратности 4 и 1 кратности 2.
Задание 13
Указать фамилию, имя и страну проживания выдающегося математика-алгебраиста, даты жизни которого 787 - 850гг.
Решение:
Выдающийся узбекский учёный Мухаммед бен Муса (787-850г.н.э.) жил в Хорезме, поэтому его часто называли просто "Аль-Хорезми" - хорезмец.
Список использованной литературы
1.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. -...
Обычные дроби
Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общ...
Ортогональные многочлены
Многочлен Чебышева первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на интерва...
Виды многочленов
Выполнение арифметических действий над многочленами. Умножение одночлена на многочлен. Мономы в составе полинома. Многочлен с одной переменной, одноро...
Корни многочленов от одной переменной
В ней я хочу дать понятие многочлена, определить операции над ними, рассмотреть способы нахождения остатков при делении: схема Горнера. А так же рассм...
Матрицы и определители
Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умн...