Коллизии в рассуждениях

Анализ логических ошибок с помощью E-структур. Коллизиями E-структуры: коллизии парадокса и цикла. Основные методы анализа рассуждений. Построение графа рассуждения и применение к посылкам правила контрапозиции. Корректные и некорректные E-структуры.
Краткое сожержание материала:

11

Коллизии в рассуждениях

Анализ логических ошибок с помощью E-структур основан на том, что в рассуждении допускаются все возможные (порой составленные явно не по правилам Аристотелевой силлогистики) сочетания суждений. При этом из исходных посылок получаются все возможные следствия. Среди них могут оказаться и такие, которые говорят о том, что в посылках содержатся какие-то неприятности. Эти неприятности мы будем называть коллизиями.

Коллизиями E-структуры называются следующие ситуации, появляющиеся при построении CT-замыкания:

коллизия парадокса: появление в CT-замыкании по крайней мере одного из суждений типа X или X;

коллизия цикла: появление в CT-замыкании по крайней мере одного цикла.

Вспомним, что циклом в графе называется путь, который начинается и заканчивается одной и той же вершиной. Но вначале мы рассмотрим коллизию парадокса.

Коллизия парадокса. Что означает отношение X в алгебре множеств (например, "Все мои друзья - не мои друзья")? Вспомним закон непротиворечия: X = . Из него явно следует, что отношение X может быть справедливым только в единственном случае, когда множество X равно пустому множеству. А из другого закона следует, что в этом случае должно быть равно универсуму. С точки зрения алгебры множеств такую ситуацию нельзя назвать катастрофической, но в обычном рассуждении это означает, что некоторый объект X, в существовании которого мы изначально не сомневались, оказывается несуществующим. Например, из суждения "Все мои друзья - не мои друзья" следует, что друзей у меня нет.

Простейшим случаем коллизии парадокса является соединение в одной E_структуре двух контрарных суждений, например, AB и A. Посмотрим, что получится, если построить для этой пары суждений E-структуру (рис.1). Примером такой контрарной пары могут быть, в частности, такие суждения: "Все жирафы живут в Африке" и "Все жирафы не живут в Африке". Если мы построим контрапозиции исходных посылок, то увидим, что между терминами A и появились два пути, которые приводят к следствию A (рис.2). Содержательно такое суждение говорит о том, что все жирафы не являются жирафами. Причем получить это следствие можно двумя путями: AB и A.

Рис.1 Рис.2

Другой простой случай коллизии парадокса для пары разных терминов и их отрицаний мы получим, если соединим в одной E-структуре два суждения AB и B. Сделав аналогичные построения, получим уже другую коллизию парадокса A. Здесь пустым оказывается базовый термин , а роль универсума берет на себя термин A.

Попробуем смоделировать коллизию парадокса в примере, добавив в число посылок суждение S ("Все разумные люди не укрощают крокодилов"). Может быть, для кого-то это суждение само по себе не кажется парадоксальным, но в нашей системе оно вызывает катастрофу. Если не поленимся и построим CT-замыкание для нашей новой системы, то убедимся, что в нем появилась коллизия парадокса T (на схеме она будет представлена вертикальной стрелкой). Если мы считаем правильным суждение S и заодно все остальные посылки нашего примера, то мы тем самым должны признать, что людей, укрощающих крокодилов, не существует.

Но коллизия парадокса не всегда означает катастрофу. Иногда ее появление позволяет распознать в рассуждении явно лишние термины. В качестве примера такого рассуждения возьмем сорит Л. Кэрролла о парламенте, который был приведен в конце предыдущего раздела в качестве самостоятельного упражнения. Те, кто справился с этой задачей, наверное, смогли убедиться в том, что в этом сорите отсутствуют коллизии, но некоторые следствия кажутся несколько странными для членов парламента (например, "Все, кто не в здравом рассудке, являются членами палаты лордов" или "Все, кто принимает участие в скачках на мулах, являются членами палаты общин").

Предположим, что некто решил с помощью хитроумных тестов проверить умственные способности всех членов палаты лордов и в результате исследований получил следующий результат: "Все члены палаты лордов находятся в здравом рассудке". Этот результат по форме является суждением (кстати, многие факты также можно выразить в форме суждений), и мы можем ввести его в качестве дополнительной посылки в нашу систему.

Нетрудно убедиться, что в результате такого нововведения появляется коллизия парадокса: "Все, кто не в здравом рассудке, находятся в здравом рассудке". Отсюда ясно, что тех, кто не в здравом рассудке в нашем универсуме (т.е. среди членов парламента) нет, и мы можем теперь исключить из рассмотрения термин "те, кто не в здравом рассудке" и заодно альтернативный ему термин "те, кто в здравом рассудке". Заодно вместе с этим изъятием (или элиминацией) нужно исключить все связи, которые соединяют эти термины с другими терминами нашего рассуждения.

Удаление термина из рассуждения из-за коллизии парадокса не означает, что он исчезает бесследно. Просто один из терминов (в нашем примере - это термин "те, кто в здравом рассудке") становится необходимым свойством всего универсума.

Рассмотрим еще один пример, с помощью которого можно показать явное неравенство друг другу суждения и его обращения. Если дано некоторое суждение, то обратным суждением называется суждение, в котором правая и левая части переставлены. Например, суждением, обратным суждению AB, будет суждение BA.

Пример. Даны посылки:

Все мои друзья хвастуны и не скандалисты;

Все, кто хвастается, не уверен в себе.

А теперь предположим, что у нас имеются две гипотезы, которые нам необходимо проверить на совместимость с исходными посылками:

Г1: Все уверенные в себе не скандалисты;

Г2: Все, кто не скандалит, уверены в себе.

Ясно, что обе гипотезы содержат одни и те же термины, но каждая из них является обращением другой. Сначала запишем исходные суждения в математической форме, для чего введем следующие обозначения: D - мои друзья, H - хвастуны, S - скандалисты, Y - уверенные в себе. Тогда получим:

D (H, );

H.

Строим граф (рисунок 3), при этом надо учитывать, что суждения типа D (H, ), в которых один субъект и несколько предикатов, на графе надо отображать в виде нескольких дуг, которые направлены от субъекта к каждому из предикатов суждения. Затем для каждого элементарного суждения (т.е. суждения, представленного на графе только одной дугой) строим следствие по правилу контрапозиции (рисунок 4). Нетрудно убедиться, что в данном рассуждении коллизии отсутствуют.

Рис.3 Рис.4

Надо построить две системы рассуждений, в одной из которых в состав исходных посылок добавлена гипотеза Г1, а в другой - гипотеза Г2. И тогда окажется, что гипотеза Г1 (Y) не приводит ни к каким коллизиям, в то время как гипотеза Г2 (Y) после соответствующих построений оказывается противоречивой. Одним из ее следствий оказывается суждение D (все мои друзья - не мои друзья). Поскольку есть основание предполагать, что множество "моих друзей" не является пустым, то мы принимаем первую гипотезу и отвергаем вторую.

Предложенные методы анализа рассуждений можно использовать не только для терминов, которые обозначают какие-либо конечные перечисляемые множества, но и для терминов, которые обозначают бесконечные множества с заданными свойствами. Рассмотрим бесконечные множества положительных целых чисел со свойствами делимости. Среди них имеются множества четных чисел, нечетных чисел, чисел, кратных трем, семи и т.д. Ясно, что каждое из этих множеств является потенциально бесконечным множеством. Обозначим эти множества соответственно N₂ (четные числа), N₃ (кратные трем), N₅ (кратные пяти), N₇ (кратные семи). Существуют соответственно и дополнения этих множеств, которые тоже являются потенциально бесконечными множествами: (нечетные числа), (не делящиеся на три), (не делящиеся на пять), (не делящиеся на семь).

Пример. Пусть имеется некоторое, возможно, бесконечное множество положительных целых чисел, в котором соблюдаются следующие соотношения:

N₂ (N₃ ) (все четные числа делятся на 3 и не делятся на 5);

N₃ (все числа, кратные 3, не делятся на 7);

N₇ (все числа не делящиеся на 5, кратны 7).

Спрашивается, имеются ли в этом множестве четные числа?

Чтобы ответить на вопрос задачи, выполним уже знакомые нам построения. Соотношения включения обозначим, используя стрелки (например, вместо N₂ (N₃ ) запишем N₂ (N₃,)), и построим граф исходных посылок (рисунок 5), а затем для каждого элементарного суждения построим его контрапозицию (рисунок 6, новые следствия показаны пунктирными дугами).

Рис.5 Рис.6

Выберем минимальный литерал (т.е. тот, в который не входит ни одна дуга). Им оказался литерал N₂ (четные числа), т.е. тот, который нам и нужен для ответа на вопрос задачи. Построим из этого литерала возможные пути:

1-й путь: N₂ N₃ N₅ ;

2-й путь: N₂ N₇ .

В обоих случаях получена коллизия парадокса, из чего следует, что при данных условиях задачи четных чисел в этом множестве не должно быть.

Распознавать коллизию парадокса в E-структурах непосредственно по схеме далеко не всегда удобно,...