Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации

Разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики. Построение гибкого сеточного аппарата для решения практических задач. Квазирешетки в прикладных задачах течения жидкости, а также применение полиномов Бернштейна.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ Высшего профессионального образования

Северокавказский государственный технический университет

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации

Студентки Васильцовой Ольги Сергеевны

Специальности 230401 «Прикладная математика»

Ставрополь, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. РЕШЕТКИ И ИХ СВОЙСТВА

1.1 Основы теории сеточных методов

1.2 Квазирешетки и их свойства

2. КВАЗИРЕШЕТКИ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ

2.1Уравнение теплопроводности

2.2 Устойчивость. Исследование устойчивости методом гармонического анализа

2.3 Постановка задачи

2.4 Квазирешетки с применением полиномов Бернштейна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В процессе создания и в стремлении создать детальную картину исследуемых процессов мы приходим к необходимости строить все более сложные математические модели, которые в свою очередь требуют универсального тонкого математического аппарата. Реализация математической модели на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая непрерывно совершенствуется вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники.

Роль математических моделей далеко не исчерпывается проблемой познания закономерностей. Их значение непрерывно возрастает в связи с естественной тенденцией к оптимизации технических устройств и технологических схем планирования эксперимента.

Всякая редукция задач математической физики или техники в конечном итоге обычно сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Поэтому предмет вычислительной математики, как правило, связан с методами сведения задач к системам алгебраических уравнений и их последующему решению.

Построение систем алгебраических уравнений, соответствующих той или иной задаче с непрерывно меняющимися аргументами, обычно существенно опирается на априорную информацию, связанную с исходной задачей. Такой информацией может быть принадлежность решения к тому или иному классу функций, обладающих определенными свойствами гладкости, свойства операторов задачи, свойства входных данных и т. д. Априорная информация во многих случаях оказывает решающее влияние на выбор методов вычислительной математики, используемых для решения указанных алгебраических уравнений. При этом, как правило, должно иметь место соответствие между априорными требованиями для исходной задачи и свойствами ее алгебраического аналога. Это прежде всего относится к операторам задач, свойства которых должны быть по возможности сохранены при редукции задачи от непрерывных аргументов к дискретным.

Такой принцип, по-видимому, является основополагающим при решении многих задач. Одновременно следует отметить, что преемственность свойств операторов задач при редукции дает возможность опираться на хорошо разработанные методы функционального анализа, что обычно позволяет простым и универсальным путем проводить исследования эффективности алгоритмов вычислительной математики.

Актуальность данной работы заключается в том, что в настоящее время большое внимание уделяется применению компьютерных технологий при вычислении задач. А сложные задачи математической физики, часто в процессе решения, редуцируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислительных машинах. Именно с такими сложными задачами зачастую сталкиваются исследователи в своей практической деятельности.

Обзор сеточных методов вычислительной математики, данный в первом разделе, сопровождается постановкой ряда проблем вычислительной математики и анализом тенденций их развития рассматриваются методы, к которым в последнее время значительно возрос интерес. Эти методы позволяют в ряде случаев свести решение задач в области со сложной границей к решению последовательности задач в более простых областях. Отметим здесь метод разделения области, исследования по которому ведутся во многих странах. Интерес к данному методу обусловлен и тем обстоятельством, что он часто допускает крупноблочное распараллеливание процесса решения исходной задачи. Это обстоятельство является важным в связи с внедрением в практику вычислений многопроцессорных ЭВМ, работающих в параллельном режиме.

Второй раздел посвящена постановке и численному решению прикладных задач математической физики. Методы математического моделирования сложных задач науки и техники постоянно выдвигают перед исследователем проблемы, связанные с восстановлением решения задачи по некоторым функционалам от решения или с восстановлением

Целью дипломной работы является разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики.

В ходе разработки программы защиты необходимо решить следующие задачи:

1. Построить гибкий сеточный аппарат для решения широкого спектра практических задач.

2. Минимизировать время разработки.

3. Произвести тестирование разработанной программы.

3. Проверить отказоустойчивость программы защиты.

4. Минимизировать стоимость разработки.

В списке использованных источников содержатся литературные источников, которые были применены в процессе изучения и разработки алгоритма, в составе которых присутствуют как и литературные издания, научные статьи так и ссылки на интернет источники.

В заключении подведены итоги разработки и проведена оценка успешности разработанного алгоритма.

В приложении содержится листинг расчетных программ.

1. РЕШЕТКИ И ИХ СВОЙСТВА

1.1 Основы теории сеточных методов

Возьмем ограниченную область D из Rⁿ с границей ?D. Где Rⁿ евклидово пространство n-мерных вещественных векторов. Разобьем пространство Rⁿ на элементарные ячейки {x?(x₁, x₂,…,x_n): k_ih_i<x_i<(k_i+1)h_i, i=1, 2, …, n}, где k_i - целые числа, h_i=const>0. Величина h_i по переменной x_i, называется шагом сетки. Если h_i=const, то сетка по x_i называется равномерной. Величина h_i называется шагом сетки. Пусть - объединение элементарных ячеек (включая их границы). Положим, что , а граница области . Тогда множество вершин ячеек принадлежащих так же обозначим символом и назовем его сеткой области , а вершины - узлами сетки. Внутренними узлами сетки, будем называть вершины ячеек принадлежащие области D. В таком случае граничные узлы составляют множество и обозначаются .

В узлах сеток , , можно определить некоторые функции. Функции, область определения которых является сетка, назовем сеточными функциями и обозначим их как ,,… Тогда значения сеточной функции в узлах , где , или т. е. .

На рисунке 1. и 2 представлены некоторые варианты сеток



Рисунок 1. 1 - Функция одной переменной Ф, заданная на структурированной сетке {x_k}

Рисунок 1. 2 - Функция двух переменных Ф, заданная на структурированной сетке {x_k}

Расчетные сетки используют при численном решении дифференциальных и интегральных уравнений.

Качество построения расчетной сетки в значительной степени определяет успех (неудачу) численного решения уравнения.

Задача построения расчетной сетки заключается в нахождении отображения которое переводит узлы сетки из физической области в вычислительную. Такое отображение должно удовлетворять нескольким условиям:

? отображение должно быть однозначным;

? узлы сетки должны сгущаться в области предполагаемой появление больших градиентов;

? линии должны быть гладкими для обеспечения области непрерывных производных.

Процедуру построения расчетной сетки можно рассматривать как построение взаимно-однозначного отображения области определения функции (физической области) на некоторую расчетную область, имеющую более простую форму.

Множество сеточных функций , определенных на , обозначим . На этом множестве можно ввести скалярное произведение и норму, превратив тем самым в конечномерное гильбертово пространство сеточных функций. Примером такого пространства является пространство , состоящее из вещественных сеточных функций определенных на . Скалярное произведение и норму в можно задать в виде:

,

,

где суммирование осуществляется по индексам, соответствующим узлам сетки . Однако можно превратить и в конечномерное банахово пространство, если ввести на норму, которая не порождается скалярным произведением. Примером банахова пространства является пространство с нормой .

Аналогично тому, как это сделано для случая , вводятся соответствующие пространства сеточных функций на и .

Пусть Ф есть линейное множество функций , определенны...