Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков
Краткое сожержание материала:
29
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломная работа
Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003
Реферат
Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.
Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.
Содержание
Введение
1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Заключение
Список использованных источников
Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)
Введение
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
(0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
(0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.
1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.1)
Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:
, (1.2)
где Fk(x,y) - однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:
. (1.3)
Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:
F(x,y)x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0 (1.4)
Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k - постоянные:
(3x2+21xy+1y2+22x+2y+3)(ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2)+(1x2+
21xy+31y2+2x+22y+3)(cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2)=(x3+1x2y+1xy2+ (1.5)
1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+)(fx+gy+k).
Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений
xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):
3a1+1a2-f=0, (1.61)
(2a1+2b2-f)1+2a21-g+6b1=0, (1.62)
21c1+(2b1+2c2-g)1+(6b2-f)1=0, (1.63)
(4b1+c2-g)1+(a1+4b2-f)1+3a21+3c1=0, (1.64)
c11+(3c2-g)1=0; (1.65)
c1+(2a1-f)2+a22-k+3a=0, (1.71)
(2a+d-k)1+2c1+(4b1-g)2+(a1+2b2-f)2+2a22+3b=0, (1.72)
2b1+(a+2d-k)1+3c1+2c12+(2b1+c2-g)2+(4b2-f)2=0, (1.73)
b
Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков
Порядок и основные этапы построения квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, условия их существования. Методика качественно...
Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка
Построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами. Выражение коэффициентов интегралов через коэффициенты системы, связь по...
Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков
Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость...
Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, парабола, гипербола, окружность, точка, характеристиче...
Алгоритм решения двумерной задачи оптимального управления газлифтного процесса
Описание газлифтного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Конечно-разностная аппроксим...