Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Важливість ролі власних векторів. Векторний простір і лінійний оператор в ортогональному проектуванні його на площину. Роль одновимірних інваріантних підпросторів. Вигляд матриці оператора в базисі, що складається з власних векторів цього оператора.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Як ми вже знаємо один і той же лінійний оператор в різних базисах задається різними матрицями. Виникає питання: чи не можна знайти такий базис векторного простору, в якому матриця лінійного оператора має найпростіший вигляд. Таким виглядом буде діагональний вигляд. До вияснення цього питання ми і приступаємо.

1. Інваріантні підпростори.

Нехай U підпростір векторного простору V_n, а ц - лінійний оператор, заданий на просторі V_n.

Означення. Підпростір U векторного простору V_n називається інваріантним відносно лінійного оператора ц, якщо образ ц кожного вектора із U належить цьому підпростору U, тобто

.

Приклади.

1. Розглянемо звичайний тривимірний простір V₃ і нехай ц - поворот навколо осі OZ. Інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина XOY і сама вісь OZ.

2. Розглянемо знову векторний простір V₃ і лінійний оператор ц, який полягає в ортогональному проектуванні векторного простору V₃ на площину XOY. Інваріантними підпросторами будуть: площина XOY, сама вісь OZ, всі площини, які проходять через вісь OZ і всі прямі площини XOY, які проходять через початок координат.

3. В будь-якому векторному просторі кожен підпростір інваріантний відносно тотожного і нульового оператора.

4. В будь-якому векторному просторі сам простір і його підпростір, який складається тільки з нульового вектора, інваріантні відносно будь-якого лінійного оператора.

Доведемо, що перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора ц, інваріантні відносно цього оператора ц.

Нехай підпростори U₁ і U₂ - інваріантні відносно лінійного оператора , і нехай . Тоді і , а значить і , тобто . Отже, - інваріантний підпростір відносно оператора .

Нехай , де і . Тоді і , .Отже, - інваріантний підпростір відносно оператора .

Особливу роль відіграють одновимірні інваріантні підпростори.

2. Власні вектори і власні значення.

Означення. Власним вектором лінійного оператора ц називається ненульовий вектор , для якого виконується рівність , де - деяке число, яке називається власним значенням лінійного оператора, якому відповідає власний вектор .

Властивості власних векторів.

1. Якщо - власний вектор лінійного оператора з власним значенням , то вектор при будь-якому також є власним вектором з тим самим власним значенням .

2. Якщо , ,…, - власні вектори лінійного оператора , які належать до того самого власного значення , то будь-яка їхлінійна комбінація також буде власним вектором цього оператора з тим самим власним значенням .

3. Теорема. Власні вектори, які відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення. Нехай , ,…, - власні вектори лінійного оператора , які відповідають різним власним значенням , відповідно, тобто . Доводимо теорему методом математичної індукції за кількістю векторів.

Для теорема справедлива, бо за означенням, і тоді і тільки тоді, коли .

Нехай теорема справедлива при , тобто - лінійно незалежні. Припустимо, що

(1)

і доведемо, що рівність (1) виконується тоді і тільки тоді, коли всі .

Подіємо на рівність (1) лінійним оператором :

використавши лінійність оператора , одержимо

звідси

. (2)

Віднімемо від рівності (2) рівність (1), помножену на . Одержимо

. (3)

За припущенням індукції вектори лінійно незалежні, тому рівність (3) виконується тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти при дорівнюють нулю. Але за умовою (), а тому .

Підставивши ці значення у рівність (1), одержимо , звідси , бо . Отже, рівність (1) виконується тоді і тільки тоді, коли всі () одночасно. Тому - лінійно незалежні.

Теорему доведено. Повернемось до питання, як знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. Для цього нам потрібно розглянути деякі додаткові поняття.

Характеристична матриця

Нехай дана квадратна матриця

.

Матриця

називається характеристичною матрицею. Детермінант цієї матриці

називається характеристичним многочленом.

Корені цього многочлена називаються характеристичними числами.

Теорема. Характеристичні многочлени подібних матриць однакові.

Доведення. Нехай . Тоді

Теорема доведена.

Нехай лінійний оператор в базисі векторного простору задано матрицею

і - власний вектор оператора , який відповідає власному значенню , тобто .

Позначимо координати вектора в базисі через .

Тоді з одного боку , а з другого боку .

Тоді

або в розгорнутому вигляді

 (4)

Звідси одержимо систему лінійних однорідних рівнянь

Власний вектор є ненульовим розв'язком системи (4ґ). Як відомо, однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими має ненульові розв'язки тоді і тільки тоді, коли її детермінант дорівнює нулю, тобто, коли виконується умова

Так як детермінант при транспонуванні не змінюється, то одержимо рівняння відносно невідомого

(5)

Отже, ми довели теорему: кожне власне значення лінійного оператора , заданого матрицею А, є коренем характеристичного многочлена.

Провівши міркування знизу вверх, одержимо твердження: кожний корінь характеристичного многочлена лінійного оператора буде його власним значенням.

В ході доведення теореми ми одержали схему знаходження власних значень і власних векторів лінійного оператора.

Приклад. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора заданого матрицею

Схема розв'язування:

1. Складаємо характеристичну матрицю

.

2. Шукаємо характеристичний многочлен

=

3. Розв'язуємо характеристичне рівняння

(2-

Отже, власними значеннями лінійного оператора є числа 1, 2, -1.

4. Для знаходження власних векторів розв'язуємо систему рівнянь

тобто (5)

а) Шукаємо власні вектори, які відповідають власному значенню підставивши у (5) замість одиницю:

або в розгорнутому вигляді

Ранг цієї системи дорівнює 2, тому фундаментальна система її розв'язків складається з одного розв'язку. Знаходимо його. Зліва залишаємо змінні , а перенесемо в праву частину і вважаємо її відомою: звідси Покладемо тоді . Отже, одним із власних векторів, які відповідають власному значенню є вектор Всі власні вектори, які відповідають цьому значенню мають вигляд , де -будь-яке дійсне число, відмінне від нуля.

Самостійно знайти власні вектори, які відповідають власним значенням 2 і .

Весь набір характеристичних коренів оператора (причому кожний корінь береться з тією кратністю, яку він має в характеристичному рівнянні) називається спектром лінійного оператора.

Сукупність власних векторів оператора , яким відповідає одне і те саме власне значення , збігається з сукупністю всіх ненульових розв'язків систем лінійних однорідних рівнянь.

Лінійні оператори з простим спектром

Кажуть, що лінійний оператор у n - вимірному просторі над полем Р має простий спектр, якщо всі його n характеристичні корені різні.

Повернемося до питання: чи існує базис простору , в якому лінійний оператор задається діагональною матрицею.

Нехай в просторі існує базис, який складається з власних векторів , які відповідають власним значенням , відповідно. Знайдемо матрицю цього оператора в цьому базисі:

тобто оператор заданий діагональною матрицею, причому по діагоналі стоять власні значення лінійного оператора, які відповідають власним векторам базису.

Навпаки. Нехай лінійний оператор в деякому базисі задається довільною матрицею .

За означенням матриці лінійного оператора в даному базисі

звідси тобто вектори базису є власними векторами оператора з власними значеннями . Таким чином ми довели теорему:

Якщо вектори базису є власними векторами лінійного оператора , то в цьому базисі оператор задається діагональною матрицею. Навпаки, якщо в деякому базисі матриця оператора є діагональною, то всі вектори цього базису є власними векторами оператора .

Як бачимо, матриця оператора в базисі, що с...