Исследование событий

Событие как факт, который может произойти или не произойти в результате эксперимента. Эксперимент как модель производимых экспериментов, результаты которых невозможно заранее предсказать. Типы событий и действия над ними. Диаграммы Эйлера-Венна.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Введение.

Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики-какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных-алгебраиста Джироламо Кардана (1501-1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым - Блезу Паскалю (1623-1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.



1. Определение и типы событий

Основополагающими понятиями в теории вероятностей являются понятие события и эксперимента.

Событие - это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате эксперимента.

Эксперимент в теории вероятностей представляет собой идеализированную модель реально производимых экспериментов, результаты которых невозможно заранее предсказать. Несмотря на это случайное событие подчиняется довольно строго математике. Результат большого числа случайных событий перестает быть случайным и может быть предсказан с высокой точностью. В этом смысле, предметом теории вероятностей является изучение вероятных закономерностей большого числа однородных случайных явлений.

Наблюдаемые события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Вероятность - есть мера случайности события, мера возможности событию произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате эксперимента.

Событие называется невозможным, если оно обязательно не произойдет в результате эксперимента.

Событие называется случайным, если при осуществлении ряда условий оно может либо произойти, либо не произойти.

Совместные события - события, при появлении одного из которых не исключается появление другого события. Несовместные события - события, при появлении одного из которых исключается появление другого.

События называются единственно возможными, если появление в результате эксперимента одного и только одного из них является достоверным событием.

Очевидно, единственно возможные события являются попарно несовместными.

События называются равновозможными, если можно считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов эксперимента.

Независимые события - события, наступление одного из которых не влияет на возможность наступления другого.

Зависимые события - события, наступление одного из которых влияет на возможность наступления другого.

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

При рассмотрении экспериментов не учитываются маловероятностные исходы. События из полной группы должны быть равновозможными, т.е. нет предпосылок считать, что одно из них наступит скорее другого. Элементарные события обозначим , полная группа событий . Тогда любое событие A может быть представлено подмножеством множества

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое обозначают .

Примеры. 1. Выпадения орла или решки при подбрасывании монеты являются противоположными событиями. 2. Попадание и промах при стрельбе по мишени - противоположные события.

Рассмотрим несколько примеров событий. 1. Опыт - бросание монеты; событие A - появление герба. 2. Опыт - бросание трех монет; событие B - появление трех гербов. 3. Опыт - передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них. 4. Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание. 5. Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е - появление туза. 6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F - появление карты червонной масти.

Рассматривая перечисленные в наших примерах события A, B, C, видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более возможно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем Е.

Пример. Для каждого из событий определить, каким оно является - невозможным, достоверным или случайным:

а) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это - мальчик;

б) из списка 9 класса выбрали одного ученика и это - девочка;

в) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему - 14 месяцев;

г) из списка 9 класса выбрали одного ученика и ему больше двух лет;

д) измерили стороны треугольника и сумма двух из них оказалась меньше длины третьей стороны.

Решение.

Случайные - а, б

Достоверные - г

Невозможные - в, д

Пример. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.

Решение:

Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся родились 30 января - случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все зависит от состава группы из 25 учащихся).

Второе событие - невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день

Пример. Назовите событие, противоположное данному:

1) при бросании монеты выпала решка;

2) Алеша вытащил выигрышный билет в розыгрыше лотереи;

3) в нашем классе все умные и красивые;

4) мою соседку по парте зовут или Таня, или Аня;

5) явка на выборы была от 40% до 47%;

6) сегодня хорошая погода.

Решение.

1) при бросании монеты выпал орёл;

2) Алеша вытащил невыигрышный билет в розыгрыше лотереи;

3) в нашем классе все глупые и некрасивые;

4) мою соседку по парте зовут не Таня и не Аня;

5) явка на выборы была менее 40% или более 47%

6) сегодня плохая погода

Пример. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное;

1) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

2) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;

3) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

4) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

Решение:

1) Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара; четыре вынуть нельзя.

2) Событие случайное, может произойти, может и не произойти.

3) Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов.

4) Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.

Пример. Событие В-в результате стрельбы по мишени хотя бы одна пуля попала в цель. Что означает событие ?

Решение:

Событие можно описать так: «в результате стрельбы по мишени ни одна пуля не попала в цель». Оно означает, что все пули попали мимо цели.

Ответ: противоположное событие.

Пример. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Решение: «идёт дождь» - «на небе нет ни облачка» - несовместные;

«наступило лето» - «на небе нет ни облачк...