Исследование различных методов численного интегрирования в среде MatLab

Расчет первообразной, построение ее графика. Построение семейства первообразных при изменении произвольной постоянной от -10 до 10. Расчет площади площадь криволинейной трапеции. Поиск интеграла методом подстановки. Расчет длины кривой ro=a(1+сosphi).
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Севастопольский Национальный Университет Ядерной Энергетики и Промышленности

Вычислительная работа

Предмет: Вычислительная математика

Исследование различных методов численного интегрирования в среде MatLab

Вариант 9

Выполнил: студент 215 класса

Иваненко Е.О.

Проверил:

Черненькая Е.А.

2010

Задание №1

Найти первообразную для функции f(x)=5^(1/3)+58x+cos(2*x), проходящую через точку M0(sqrt(2);1), построить ее график.

>> syms x -задаю символьную переменную

>> y=5^(1/3)+5*x+cos(2*x); - задаю функцию

>> int(y,x) - интегрирую функцию по переменной х

ans =

1925261759066421/1125899906842624*x+5/2*x^2+1/2*sin(2*x)

>> syms c -задаю символьную переменную

>> solve('1925261759066421/1125899906842624*sqrt(2)+5/2*sqrt(2)^2+1/2*sin(2*sqrt(2))+c=1',c)

ans =

-1925261759066421/1125899906842624*2^(1/2)-4-1/2*sin(2*2^(1/2)) - нахошел с

>> x=-6:0.1:6;

>> F=1925261759066421./1125899906842624.*x+5/2.*x.^2+1./2.*sin(2.*x);

>> plot(x,F -1925261759066421/1125899906842624*2^(1/2)-4-1/2*sin(2*2^(1/2)),'g');grid on;hold on;plot(sqrt(2),1,'r*') -строю функцию и точку на одном графике

численный интегрирование matlab



Задание №2

Вычислить неопределенный интеграл. Построить семейство первообразных при изменении произвольной постоянной от -10 до 10.

>> syms x -задаю символьную переменную

>> a=exp(2*x)/sqrt(1-exp(4*x)); -присваиваю каждой части уравнения букву

>> b=5/(cot(x)^2*(1+tan(x)));

>> c=4^(cot(x))/sin(x)^2;

>> d=cot(x);

>> A=int(a,x); -нахожу интеграл каждой части

>> B=int(b,x);

>> C=int(c,x);

>> D=int(d,x);

>> F=A+B+C+D -нахожу сумму всех частей, т.е.это ответ

F =

1/2*asin(exp(x)^2)-5*log(tan(1/2*x)-1)-5*log(tan(1/2*x)+1)+5/2*log(tan(1/2*x)^2+1)-5*atan(tan(1/2*x))+5/2*log(tan(1/2*x)^2-1-2*tan(1/2*x))-1/2/log(2)*2^(2*i*(exp(2*i*x)+1)/(exp(2*i*x)-1))+log(sin(x))

>> x=1:0.1:10;

>> F=1/2.*asin(exp(x).^2)-5.*log(tan(1/2.*x)-1)-

5.*log(tan(1/2.*x)+1)+5/2.*log(tan(1/2.*x).^2+1)-

5.*atan(tan(1/2.*x))+5./2.*log(tan(1/2.*x).^2-1-2.*tan(1/2.*x))-

1/2./log(2).*2.^(2.*i.*(exp(2.*i.*x)+1)./(exp(2.*i.*x)-1))+log(sin(x));

>> plot(x,F-5*10^35,'r',x,F+10^35,'m',x,F+5*10^35,'g') -строю семейство первообразных

Задание №3

Найти интеграл методом подстановки

>> syms x -задаю символьную переменную

>> y=exp(x)/(2+exp(x)); -задаю функцию

Заменяю

exp(x)=t;

x=log(t);

тогда

dx=1/t;

y=t/(2+t)*1/t;

>> syms t

>> y=t/(2+t)*1/t; это наша новая функция

>> int(y,t) -интегрирую новую функцию

ans =

log(2+t)

>> subs(y,t,exp(x)) -обратная замена

ans =

1/(2+exp(x))

Задание №4

Найти интеграл, используя формулу интегрирования по частям

>> syms x -задаю символьную переменную

>> y=(x-1)/cos(x)^2; -задаю функцию

[U=(x-1); dv=1/cos(x)^2; du=1; v=tan(x)];

=uv-

>> int(y,x) -интегрирую функцию

ans =

x*tan(x)+log(cos(x))-sin(x)/cos(x)

Задание№5

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=1/sqrt(8+2*x-x^2),x=-0.5,x=1. Построить и закрасить криволинейную трапецию, подобрать масштаб

>> syms x-задаю символьную переменую

>> y=1/sqrt(8+2*x-x^2);-задаю функцию

>> ezplot(y) -строю функцию

>> a=-0.5;b=1; -задаю пределы интегрирования

>> xm=a:0.01:b;

>>ym=subs(y,x,xm);

>>hold on

>>patch([a xm b],[0 ym 0],[0 1 0]) -закрашиваю площадь

>> S=int(y,a,b)-нахожу прощадь

S =

1/6*pi



Ответ: S =1/6*pi(кв.ед)

Задание №6

Исследовать на сходимость интеграл

>> syms x

>> y=1/(2+x);

>> int(y,2,2)

ans =

0

Сходится!!!

Задание №7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3,y=sqrt(x)

>> syms x-задаю символьную переменную

>> y1=x^3;y2=sqrt(x); -задаю функции

>> ezplot(y1);grid on;hold on;ezplot(y2) -строю обе функции на одном графике

>> S1=int(y1,0,1); -нахожу площадь одной трапеции

>> S2=int(y2,0,1);-нахожу площадь другой трапеции

>> S=S2-S1 -разность площадей и будет ответ

S =

5/12

Ответ S = 5/12(кВ.ед)

Задание №8

Найти длину кривой ro=a(1+сosphi)-это кардиоида,(a>0)

>> phi=0:pi/100:2*pi; -задаю угол

>> ro=1+cos(phi);-задаю функцию

>> polar(phi,ro) -строю функцию в ПСК

>> syms phi

>> ro=1+cos(phi);

>> a=diff(ro,phi)

a =

-sin(phi)

>> b=sqrt(ro^2+a^2);

>> L=int(b,0,2*pi) -нахожу длину кривой

L =

8

Ответ: L = 8(изм.ед)

Вывод: я научился находить первообразную функции ,находить определенный и не определенный интеграл. Так же находить площадь и объемы фигур.

Размещено на Allbest.ru