Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда
Введение
Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.
Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.
Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.
Среди непараметрических методов спектрального оценивания одним из наиболее распространенных является метод Уэлча, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений. Цель перекрытия - увеличить число осредняемых отрезков при заданной длине временного ряда и тем самым уменьшить дисперсию итоговой оценки.
В данной работе вычислены первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследовано асимптотическое поведение математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Проведен сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных и числа разбиения наблюдений для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений за атмосферным давлением в городе Бресте с января 2006 г. по март 2010 г.
спектральный плотность временной асимптотический
1. Понятия и определения, используемые в работе
Временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида
.
Действительным случайным процессом называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.
Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида
где .
Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида
где .
Спектральной плотностью случайного процесса, , называется функция вида
, при условии, что
Спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида
Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, .
Заметим, что
,
.
Пусть - значения случайного процесса в точках . Функция
называется характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
,
, , которую также будем обозначать как .
Приведем соотношения, связывающие смешанные моменты и смешанные семиинварианты для и .
При
,
,
.
При
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, при условии, что
Случайный процесс , называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение
где
Случайный процесс , , называется стационарным в широком смысле, если и
1)
2)
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , , называется функция вида
, при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью -го порядка, , стационарного СП , , называется функция вида
при условии, что
2. Построение оценки спектральной плотности многомерного временного ряда и вычисление первых двух моментов оценки
2.1 Построение оценки спектральной плотности
Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс , с , (, ), , неизвестной ковариационной матрицей , , где
=,
и неизвестной матрицей спектральных плотностей , , где
.
Пусть - последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей процесса , , .
Предположим, что число наблюдений представимо в виде , где - число пересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений, а , - целые числа, .
Заметим также, что если , то , где - число непересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений.
Модифицированное конечное преобразование Фурье наблюдений определяется выражением
, (1.1)
где , - сглаживающие функции или окна просмотра данных, свойства которых рассмотрены в работе [2].
На каждом из интервалов разбиения построим модифицированное конечное преобразование Фурье наблюдений, имеющее вид
, (1.2)
, , где - окна просмотра данных. Таким образом, сглаживание наблюдений на каждом из отрезков разбиения производится одним и тем же окном просмотра данных.
Сделаем в выражении (1.2) замену переменной суммирования , получим
, (1.3)
где
, (1.4)
, , .
На каждом из интервалов разбиения построим статистику , задаваемую равенством
, (1.5)
где задается выражением (2.4), - окна просмотра данных, , , .
Статистику будем называть модифицированной периодограммой на ом отрезке разбиения наблюдений.
В качестве оценки взаимной спектральной плотности процесса исследована статистика вида
(1.6)
где , - спектральное окно, а , - оценка взаимной спектральной плотности процесса , построенная по методу Уэлча
(1.7)
Относительно окон просмотра данных и спектральных окон будем предполагать
Предположение 1.1 Пусть окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной вариацию.
Предположение 1.2 Пусть непрерывная, периодическая функция с периодом , имеет ограниченную вариацию и является ядром.
2.2 Вычисление математического ожидания, дисперсии и ковариации построенной оценки
Докажем некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение
(1.8)
Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера
Тогда
Лемма доказана.
Лемма 1.2. Если функции являются окнами просмотра данных и удовлетворяют предположению 1.1, то
, (1.9)
, (1.10)
для любого .
Доказательство. Докажем соотношение (1.9). Используя преобразование Абеля, можно записать
+,
в силу того, что . Используя тот факт, что для любого натурального и любого действительного ,
, (1.11)
Получим следующее выражение
.
Тогда
.
Учитывая ограниченность функций единицей, будем иметь
+
+.
Следовательно,
.
Тогда, используя ограниченность вариации постоянной , получим (1.9). Соотношение (1.10) доказывается аналогично. Лемма доказана.
Лемма 1.3. Если функция непрерывна на и является периодической с периодом по каждому из аргументов, то для любого , справедливо соотношение
=, (1.12)
где .
Доказательство. Представим интеграл в правой части в виде суммы тре...
Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности
Исследование первого момента состоятельной оценки взаимной спектральной плотности. Задачи спектрального анализа временных рядов. Графики оценки для вр...
Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда
Главная задача спектрального анализа временных рядов. Параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Сущность понятия "временный ря...
Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса
Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Спектральная плотность случайного процесса. Сглаживание значений на концах случайного временн...
Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда
Современный этап развития теории вероятностей и математической статистики характеризуется значительным расширением теоретических исследований по стати...
Основы цифровой обработки сигналов
Расчет спектральной плотности экспоненциального импульса цифрового устройства с помощью формулы прямого преобразования Фурье. Построение АЧХ и ФЧХ спе...
