Исследование линий на плоскости, заданных неявно

Регулярная кривая и ее отдельные точки. Касательная к кривой и соприкасающаяся плоскость. Эволюта и эвольвента плоской кривой. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. Примеры точки возврата; понятие асимптоты и полярных координат.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

Введение

1. Основные понятия теории кривых

1.1 Понятие кривой. Регулярная кривая. Особые точки кривой

1.2 Касательная к кривой. Соприкасающаяся плоскость

1.3 Кривизна кривой

1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой

2. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме

2.1 Задание линии уравнения F(x,y)=0

2.2 Особые точки

2.3 Примеры точки возврата

2.4 Асимптоты

2.5 Полярные координаты

2.6 Понятие кривой и линии

3. Решение задач

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Работа посвящена изучению линий на плоскости, заданных неявно.

Цель работы:

Исследовать соответствующую литературу, особенно ту, в которой рассматриваются линии на поверхности, заданы не явно.

Рассмотреть некоторые подходы в определении линии (кривой).

Исследовать линии на поверхности, заданные неявно.

Рассмотреть соответствующие задачи.

Структура работы:

Работа состоит из 3 глав. В первой главе рассмотрим основные понятия теории кривых. Во второй - кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. В третьей главе рассмотрим решение задач по теме работы.

1. Основные понятия теории кривых

1.1 Понятие кривой. Регулярная кривая. Особые точки кривой

Понятие кривой.

Понятие преобразования фигуры (множества точек) известно из элементарной геометрии. Если каждую точку фигуры F сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру F'. Говорят, что она получена преобразованием из фигуры F. Преобразование фигуры F переводит близкие точки фигуры F в близкие точки фигуры F'?. Это значит, что если точка X фигуры F переходит в точку X'? фигуры F'?, то каково бы ни было ?е > 0, существует д > 0 такое, что любая точка Y фигуры F, которая отстоит от X на расстоянии меньшем д, переходит в точку фигуры F', которая отстоит от X' на расстоянии меньшем е. Преобразование, переводящее различные точки фигуры F в различные точки фигуры F', называется топологическим, если это преобразование и обратное к нему преобразование фигуры F' в F непрерывны. Преобразование фигуры называется локально топологическим, если оно является топологическим в достаточно малой окрестности каждой ее точки.

Дадим теперь несколько определений, относящихся к понятию кривой. Элементарной кривой мы будем называть фигуру, полученную топологическим преобразованием открытого отрезка. Простой кривой будем называть фигуру, каждая точка которой имеет пространственную окрестность такую, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной кривой (рис. 1). Общей кривой мы будем называть фигуру, полученную локально топологическим преобразованием простой кривой. Общая кривая на рисунке 2 получается локально топологическим преобразованием окружности.



Ввиду таких определений, изучение любой кривой "в малом" сводится к изучению элементарной кривой. Пусть г - элементарная кривая, являющаяся топологическим преобразованием отрезка AB. Если на прямой AB как на числовой оси ввести координату t, то преобразование отрезка AB в кривую г можно задать уравнениями

где - непрерывные функции, причем для различных значений t' и t"

Уравнения (*) мы будем называть уравнениями кривой г в параметрической форме (t -- параметр). Элементарная кривая допускает различные задания в параметрической форме. Например, кривую г можно задать уравнениями:

где -- любая непрерывная строго монотонная функция от .

Регулярная кривая.

Кривую г мы будем называть регулярной (k раз дифференцируемой), если она допускает регулярную параметризацию, т. е. задание уравнениями в параметрической форме

где - регулярные (k раз дифференцируемые) функции удовлетворяющие условию

При k=1 кривая называется гладкой.

Кривая называется аналитической, если она допускает аналитическую параметризацию (функции -- аналитические).

Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметрическое задание вида

или, что то же,

Эта параметризация иногда оказывается очень удобной для исследования кривой. В связи с этим возникает вопрос: когда кривая хотя бы "в малом" допускает такую параметризацию? Ответ на этот вопрос дает следующее предположение.

Теорема 1.

Пусть г - регулярная кривая,

- ее регулярное параметрическое задание в окрестности точки , соответствующей , то в достаточно малой окрестности точки кривая может быть задана уравнениями

где - регулярные функции от x.

Особые точки кривой.

Пусть г - кривая и Р--точка на ней. Точка Р называется обыкновенной точкой, если в окрестности этой точки кривая допускает гладкую параметризацию:

Если такой параметризации не существует, точка называется особой. Вопрос об особых точках плоской кривой во многих практически важных случаях решает следующее предположение.

Теорема 2.

Пусть г - кривая, заданная уравнениями в параметрической форме:

Тогда точка Р кривой будет обыкновенной точкой, если в этой точке первая отличная от нуля производная функций и нечетная. Точка Р будет особой, если первая отличная от нуля производная будет четной.

1.2 Касательные кривой. Соприкасающаяся плоскость

Опр. 1: Если в пространстве задана прямоугольная система координат , то гладкая линия класса Ck может быть задана параметрическим уравнениями наз. касательной.

,

Опр. 2. Пусть г--кривая, Р--точка на ней и g--прямая, проходящая через точку Р. Возьмем на кривой точку Q, близкую к Р, и обозначим ее расстояния от точки Р и прямой d через д соответственно (рис. 3). Мы будем называть прямую g касательной к кривой г в точке Р, если >0, когда Q > Р.

Теорема 1. Определение 1 эквивалентно определению 2.

Если кривая г в точке Р имеет касательную, то прямая PQ при Q > Р сходится к этой касательной. Обратно, если прямая PQ при Q >Р сходится к некоторой прямой, то эта прямая является касательной. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что есть синус угла, образуемого прямыми g и PQ.

Гладкая кривая г имеет в каждой точке касательную, и притом единственную. Если

- векторное уравнение кривой, то касательная в точке P, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора

Соприкасающаяся плоскость кривой.

Пусть г - кривая и Р--точка на ней, б -- плоскость, проходящая через точку Р. Обозначим через d расстояние точки Q кривой от точки P, а через д -- расстояние ее от плоскости б. Мы будем называть плоскость б соприкасающейся плоскостью кривой г в точке P, если отношение >0, когда Q>P (рис. 4).

Теорема 2.

Дважды дифференцируемая кривая г в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. При этом она либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную кривой, является соприкасающейся.

Если

-- уравнение кривой, то соприкасающаяся плоскость параллельна векторам и .

Каждая прямая, проходящая через точку кривой перпендикулярно касательной, называется нормалью кривой. Среди этих прямых в случае, когда соприкасающаяся плоскость единственная, выделяются две нормали: главная нормаль - нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, и бинормаль - нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

1.3 Кривизна кривой

Пусть Р--произвольная точка регулярной кривой г и Q - точка кривой, близкая к Р. Обозначим Ди угол между касательными кривой в точках P и Q, a |Дs| - длину дуги отрезка PQ кривой (рис. 5).

Кривизной кривой г в точке Р называют предел отношения Ди/|Дs| , когда точка Q>P.

Теорема 3.

Регулярная (дважды непрерывно дифференцируемая) кривая имеет в каждой точке определенную кривизну k1. Если

-- естественная параметризация кривой, то

1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Пусть г - регулярная (трижды дифференцируемая) кривая, заданная уравнением . Отложим из произвольной точки P кривой на ее нормали отрезок, равный радиусу кривизны в направлении вектора . Конец этого отрезка называется центром кривизны кривой. Такое название связано с тем, что окружность с этим центром и радиусом имеет с кривой в точке P соприкосновение третьего порядка, т.е. расстояние точки кривой от окружности имеет третий порядок малости по сравнению с расстоянием точки P. Напомним, что касательная имеет с кривой соприкосновение второго порядка.

Геометрическое место центров кривизны кривой, если оно является кривой, называется эволютой.

Теорема 4.

Эволюта является огибающей нормалью кривой.

Доказательство:

Уравнение эволюты:

.

Касательный вектор эволюты