Интегрирование иррациональных функций

Понятие первообразной функции. Виды иррациональных функций, приемы их интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, алгебраических иррациональностей, биномиальных дифференциалов, тригонометрические подстановки. Примеры решения типовых задач.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточная государственная социально-гуманитарная академия»

Кафедра высшей математики и методики обучения математике

Курсовая работа

Интегрирование иррациональных функций

Выполнила: студентка 3 курса группы 1271

Абрывалина Т.С.

Биробиджан, 2009

Содержание

Введение

1. Вводные понятия и свойства

2. Интегрирование иррациональных функций

2.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей

2.2 Интегрирование биномиальных дифференциалов

2.3 Интегрирование функций вида

2.4 Тригонометрические подстановки

Заключение

Приложение А.Тестовые задания

Приложение В. Задания для самостоятельной работы

Список используемой литературы

Введение

Существует множество различных функций. Линейные, квадратные, показательные, логарифмические, тригонометрические, иррациональные, гиперболические функции, но не все они являются простыми для изучения и исследования. Функции встречают нас везде, в математике, физике, химии, медицине, во всех видах производства и строительства. В связи с этим мы должны уметь работать с ними. В своей работе я покажу, как работать с иррациональными функциями, а именно, как найти интеграл от иррациональной функции.

Далеко не всякая функция способна быть производной (т.е. иметь первообразную).

Любая функция, непрерывная на промежутке, имеет на этом промежутке первообразную.

Эта теорема является одной из главных в интегральном исчислении. Существует еще один вопрос: если первообразная данной функции существует, то как ее найти. Доказательство этой теоремы не содержит указаний на то, как это сделать применительно к конкретной функции. А чаще всего сделать это бывает очень не просто.

Найти интеграл для функции, или выразить её первообразную через элементарные функции довольно сложно. Данная тема является очень сложной, именно по этому она не затрагивается в школьном курсе. [1]

Существует большое количество функций, для которых отыскание первообразных является затруднительным. Целью моей курсовой работы является показать, как интегрируются иррациональные функции.

В соответствии с целью исследования определены следующие задачи:

1) Выделить основные виды иррациональных функций;

2) Показать приемы интегрирования этих функций;

3) Подобрать и прорешать типовые задачи по теме исследования;

4) Составить тестовые задания по данной теме.

1. Водные понятия и свойства

Понятие первообразной функции.

Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная функция f(x).

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (a,b), если F(x) дифференцируема на (a;b) и F?(x) = f(x).

Пример:

1) - есть первообразная для функции на , т.к.

2) первообразная для функции на , т.к.

Теорема: Если функция F(x) - первообразная для f(x) на (a;b), то функция F(x)+C - также первообразная для f (x), где C - любое постоянное число.

Теорема: Если F1(x) и F2(x)- две первообразные для функции f(x) на (a;b),то F1(x)-F2(x)=C на (a;b), где C- некоторая постоянная.

Следствие: Если F(x) - первообразная для f(x) на (a;b), то любая другая первообразная Ф(x) для f(x) на (a;b) имеет вид

Ф(x) = F(x) + C

Множество всех первообразных для f(x) на (a;b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом



Знак ? - называется интегралом,

- подынтегральное выражение,

- подынтегральная функция.[7]

Если F(x) - одна из первообразных для f(x), то

Свойства определённого интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

Примеры

1)

2)

3)

Простейшие приемы интегрирование

Одним из сильнейших приемов для интегрирования функций является метод замены переменной или подстановки.

Предположим, что в интервале [a,b]

Теорема 1. Пусть дана функция , где непрерывна вместе со своей первой производной в интервале [a,b], и пусть для всех точек x интервала [a,b]. Значит

Примеры

1)

2)

Теорема 2. Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v - функции от переменной x,непрерывные и имеющие производные в интервале (a,b). Имеем тогда

Беря неопределённые интегралы от обеих частей, и учитывая, что

получим

Пример:

1)

[2,7]

Интегрирование рациональных дробей.

Неопределённый интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших.

Рациональной дробью называется выражение вида , где и - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду

,

где - многочлен (целая часть при делении), а - правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому

Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби.

Простейшими являются дроби следующих типов:

1.;

2. ;

3. ;

4.

При этом предполагается, что A, B, p, q - действительные числа, а квадратный трехчлен в дробях 3 и 4 типов не имеет действительных корней.

Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на неповторяющиеся линейные и квадратные множители

Можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где A₁,A₂,...,B₁,B₂,...,C₁,C₂,...,M₁,N₁,... -- некоторые действительные коэффициенты. Обычно неизвестные коэффициенты находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов. [3]

Пример: Найти интеграл

Подынтегральное выражение имеет вид , разложим знаменатель дроби на множители и получим

Таким образом, . Значит

Тогда найдем исходный интеграл



первообразный функция иррациональный интегрирование

2. Интегрирование иррациональных функций

2.1 Интегрирование алгебраических иррациональностей

Основным приемом интегрирования тех или других классов дифференциальных выражений является отыскание таких подстановок t=щ(x), которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в конечном виде в функции от t. Если при этом сама функция щ(x), которую надлежит подставить вместо t, выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от x.

Такой приём называется методом рационализации подынтегрального выражения. [4]

Интегрирование функций , где - рациональные числа.

Интеграл вида

(1)

сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены

,

где - общий знаменатель дробей .

Действительно, в этом случае

, ;

, , …, ,

где , , …, - целые

Тогда

.

[5]

ПРИМЕР 1. Найти интеграл

Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и

Возвращаясь к переменной , окончательно получаем

.

ПРИМЕР 2. Найти интеграл .

Подынтегральная функция имеет вид , поэтому сделаем замену . Тогда и

Возвращаясь к старой переменной, окончательно получаем

.

Частным случаем является функция вида , которую называют дробно-линейной иррациональностью, где a, b, c, d - постоянные числа, m - натуральное число, ad - bc ? 0.

Замена рационализирует интеграл. В самом деле, , откуда - рациональная функция...